Родился 24 октября 1941 года в Тбилиси в семье офицера. Детство и школьные годы провел на Дону и Кубани. После окончания средней школы, в 1958 году, поступил в Высшее военно-морское инженерное училище им. Ф.Э.Дзержинского. 1 августа 1963 года окончил училище по профилю «специальные энергетические установки», получил звание инженер-лейтенант, квалификацию «военный инженер-механик» и был назначен в распоряжение командующего Северным флотом. Там он служил на нескольких подводных лодках командиром группы БЧ-V. В апреле 1968 года, оставаясь на соединении подводных лодок Северного флота, перешел на политическую работу, став пропагандистом. В конце августа 1970 года стал слушателем военно-морского факультета Военно-политической академии им. В. И. Ленина. Окончив ее, непродолжительное время служил заместителем командира по политической части на эсминце «Степенный» на Балтике, а в марте 1975 года был назначен заместителем командира по политической части подводной лодки К-143 Северного флота. Служа на подводных лодках, неоднократно участвовал в дальних походах. 7 октября 1976 года Климченко был назначен постоянным корреспондентом корпункта газеты «Красная звезда» по Тихоокеанскому флоту. Находясь на этой должности, в звании капитана 2 ранга-инженера, он трагически погиб при исполнении служебных обязанностей в 1978 году.
Стихи начал писать в военно-морском училище, где серьезно увлекся литературной работой, которая во многом определила его дальнейшую жизнь и судьбу.
Печатался с 1962 года во флотских газетах, в альманахе Северного флота «Полярное сияние», в сборнике флотских поэтов Ленинграда и Кронштадта «Поэзия моря» (1964 ), в сборниках «Океанские горизонты» (М., 1981), «Море» (М„ 1987) и т. д. В 1973 году в Мурманском книжном издательстве в кассете «Кают-компания», в сборнике «Главный отсек» был напечатан цикл его стихотворений «Год рождения — сорок первый». Отдельной, самостоятельной книги стихотворений при жизни Леонид Климченко выпустить не успел.
