Примером может служить складывание карточки так, чтобы правый нижний угол пересекся с левым верхним углом, а затем сложение нахлестов. Повторите то же с другой карточкой, только на этот раз сложите левый нижний угол с правым верхним. Получатся две половинки тетраэдра.

Как сложить тетраэдр из карточек

Октаэдр можно сделать из четырех карточек, а икосаэдр — из десяти. Несложно также сделать четвертое платоново тело — куб. Сложим две карточки друг на друга в виде знака плюс и загнем выступающие части. Получившееся имеет форму квадрата. Шесть карточек, сложенных таким образом, собираются в куб, хотя загнутые части и остаются снаружи. Требуется еще шесть карточек, чтобы, надвинув их на грани, сделать куб гладким.

Как сложить куб из карточек

Жанин Мозли, программистка из Массачусетса, — настоящий дзен-мастер оригами из карточек. Несколько лет назад она обнаружила, что у нее в гараже скопились 100 000 карточек — они достались ей от коллег по работе: первый комплект она получила, когда компания сменила название, второй — когда компания поменяла адрес, а затем еще один, когда выяснилось, что во всех новых карточках имеется опечатка. При наличии таких ресурсов она готова была бросить вызов самому сложному объекту в искусстве оригами — губке Менгера.

Прежде чем мы подойдем к губке Менгера, мне следует познакомить вас с ковром Серпинского. Эту замысловатую фигуру изобрел в 1916 году польский математик Вацлав Серпинский. Начнем с черного квадрата. Представим себе, что он сделан из девяти одинаковых подквадратиков, и удалим центральный (рис. А). Далее для каждого из оставшихся подквадратиков повторим эту операцию — то есть представим себе, что они сделаны из девяти подквадратиков каждый, и удалим центральные (рис. В). Снова повторим тот же процесс (рис. С). Ковер Серпинского — это то, что получится, если продолжать подобные действия до бесконечности.

В 1926 году австрийский математик Карл Менгер предложил трехмерный вариант ковра Серпинского, получивший известность как губка Менгера. Начнем с куба. Представим себе, что он сделан из 27 одинаковых подкубов, и удалим подкуб, расположенный в самом центре, а заодно и шесть подкубов в центре каждой грани исходного куба. Получается куб, в котором просверлили три квадратные дырки (рис. D). Поступим с каждым из оставшихся 20 подкубов как с исходным кубом и удалим 7 из 27 подкубов из каждого (рис. E). Повторим этот процесс еще раз (рис. F), после чего наш куб примет такой вид, будто в нем пировал целый выводок геометрически озабоченных древесных червей.

Губка Менгера

Губка Менгера — поразительный, парадоксальный объект. При продолжении итераций, в ходе которых удаляются все меньшие и меньшие кубы, объем губки все уменьшается, и в конце концов она становится невидимой — как если бы древесные черви съели ее целиком. Однако при каждой итерации, состоящей в удалении кубиков, площадь поверхности губки возрастает. Совершая все больше и больше итераций, можно сделать площадь его поверхности больше любого наперед заданного значения, а это означает, что, когда число итераций стремится к бесконечности, площадь поверхности губки также стремится к бесконечности. В пределе губка Менгера — это объект с бесконечно большой площадью поверхности, но при этом невидимый.

Мозли построила губку Менгера третьего уровня — другими словами, губку, получаемую за три итерации удаления кубиков (рис. F). На это у нее ушло десять лет. Она прибегла к помощи около 200 человек и использовала 66 048 карточек. Построенная ею губка имеет высоту, ширину и глубину по четыре фута и восемь дюймов.

«Я долгое время размышляла над вопросом, делаю ли я нечто совершенно нелепое, — сказала она мне. — Но когда я закончила работу и взглянула на эту штуку, я осознала, что ее масштаб придал всему делу великолепие. Особенно чудесно, что в модель можно засунуть голову и плечи и посмотреть на эту изумительную фигуру с такой точки зрения, с которой раньше никто на нее не смотрел. Это было бесконечно пленительно, потому что чем глубже в нее погружаешься, тем больше видишь повторяющих самих себя структур. Просто смотришь на все это, и ничего объяснять не требуется. Это идея, воплощенная в материале; математика, ставшая наглядной».

Хотя оригами — исходно японское изобретение, приемы складывания бумаги развивались — причем совершенно независимо — и в других странах. В Европе пионером оригами был немецкий преподаватель Фридрих Фрёбель, в середине XIX столетия использовавший складывание объектов из бумаги как метод обучения маленьких детишек началам геометрии. Оригами обладало тем преимуществом, что позволяло его подопечным в детском садике наблюдать за тем, как геометрические объекты создаются в пространстве, а не просто рассматривать их плоские изображения на рисунках. Пример Фрёбеля перенял другой математик — индиец Сундара Роу, написавший в 1901 году книгу «Геометрические упражнения со складыванием бумаги», в которой он утверждал, что оригами — математический метод, в ряде случаев оказывающийся более мощным, чем Евклидов. Он говорил, что «несколько важных геометрических процессов можно осуществить намного проще, чем с циркулем и линейкой». Но даже Роу не мог предвидеть, насколько это мощный метод — оригами.

В 1936 году итальянка Маргерита Пьяццола Белок из Университета Феррары опубликовала статью, где доказала, что, взяв лист бумаги с отмеченной на нем длиной L, можно сложить его так, чтобы получить длину, равную кубическому корню из L. Может быть, тогда она этого и не осознавала, но из ее утверждения следовало, что с помощью оригами решалась задача, поставленная перед афинянами делосским оракулом, когда он потребовал, чтобы афиняне удвоили объем куба. Делосская задача переформулируется как задача построения куба со стороной в кубический корень из двух — раз большей стороны заданного куба. С использованием оригами задача сводилась к складыванию длины

, исходя из длины 1. Поскольку мы можем удвоить 1 и получить 2 путем складывания 1 самой на себя, а кроме того, можем найти кубический корень из 2, следуя предписанию Белок, значит, задача решена. Из доказательства Белок также следовало, что любой угол можно разделить на три равные части — и тем самым была побеждена вторая великая нерешаемая задача Античности. Статья Белок, однако, пребывала в безвестности десятилетия, пока в 1970-х годах математики не занялись оригами всерьез.

Первое, опубликованное в 1980 году оригами-доказательство делосской задачи было дано японским математиком; затем один американец в 1986 году предложил трисекцию угла. Всплеск интереса происходил отчасти от усталости — математикам изрядно надоело более чем двухтысячелетнее господство евклидовой ортодоксии. Ограничения, налагаемые Евклидом, — работа только с циркулем и линейкой — сузили границы математических изысканий. Как оказалось, оригами дает гораздо больше возможностей, чем циркуль и линейка, например при построении правильных многоугольников. Евклид смог построить равносторонний треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник, однако семиугольник, как мы помним, и девятиугольник ему не покорились. Оригами позволяет относительно легко получать семиугольники и девятиугольники с помощью складывания, хотя по-настоящему серьезным делом оказывается построение 11-угольника. (Строго говоря, здесь речь идет об оригами, где допустимы только однократные складывания. Если разрешить многократные складывания, то в принципе можно построить любой многоугольник, хотя физическое построение из-за своей сложности может оказаться практически невозможным.)