Геометрия учит нас «видеть мыслью». Но для этого мы должны отучиться , например , представлять точку как укол иголкой , линию как шест , параллели как железнодорожные рельсы . Только усилие в направлении полностью свободных от чувственного представлений помогает овладеть геометрическим видением .
Различные многоугольники в евклидовой геометрии представляются как четко отграниченные плоскости, тогда как в проективной геометрии - это структуры, уводящие в бесконечность. Чтобы выполнить необходимые построения, нужно приложить немало усилий, но окупаются они весьма интересными результатами.
Но как же доказать ее для произвольного числа камней? Ведь не можем же мы без конца строить все большие башни. Метод проб, пригодный в мире чувств, тут не может бесконечно выручать. Мы должны думать, интенсивно искать какую-то решающую точку до тех пор, пока мысленно не научимся строить безгранично большие башни. И где же эта решающая точка? Мы исследуем сначала, как увеличивается число перемещений с прибавлением одного камня. Башня из пяти камней строится так: сначала строится башня из четырех (меньших) камней на втором стержне, а затем перемещается пятый камень на стержень N3. На последнем шаге на этот стержень переносится вся башня из 4 камней. Число перемещений, значит, Х5 = Х4 + 1 + Х4 = 15 + 1 + 15 = 31. Таким же будет соотношение и в башнях любой величины. Мы можем сделать этот шаг от 4 к 5, от 5 к 6 и так далее до бесконечности. Это открытие позволяет вывести формулу числа перемещений для башен любой величины.
Чем больше усилий, тем ценнее плоды. Ученики убеждаются на собственном опыте, что благодаря мыслительному процессу можно достичь результата, не достижимого с помощью технических средств (даже с помощью самых быстродействующих компьютеров). Они научились также наблюдать за своим собственным мышлением. Они учатся переживать, когда они сами думают правильно, а когда неправильно. Этот опыт очень ценен. Чувство, что мы надежноосознанно стоим на почве истины, появляется, если мы саму проблему с ее идейным содержанием как бы внутренне проговариваем, т. е. если мы воспримем объективное содержание этой проблемы.
Как правило, ученики девятого класса не способны на такое сознательное восприятие мышления, некоторые не доходят до этого даже и в двенадцатом классе. Важно, чтобы они, каждый по своим способностям, все больше понимали на собственном опыте, что такое ясное мышление.
В девятом классе увеличивается потребность стоять на своих собственных ногах. Учитель, образно говоря, все больше уходит на задний план, а предмет, соответственно, выдвигается на передний. И как же подходят занятия математикой для того, чтобы покончить с этой зависимостью от взрослых! Ведь каждый должен сам найти истину. Но в математике большую роль играют способности. А как же быть ученикам без интеллектуальной ориентации, которые любят помечтать?
Учителю приходится овладеть всем спектром проблем — от простых до сложных — он должен, говоря языком методистов, уметь «дифференцированно подходить к классу». В девятом классе, например, снова упражняются в арифметических действиях, но уже не в десятичной, а в других системах счисления. То, что в пределах десятичной системы уже стало рутиной, снова осознается, благодаря последовательным упражнениям в пределах, скажем, бинарной системы. Это действует освобождающе. Задачи при этом могут быть самой разной трудности, от сложения до извлечения корня или усвоения различных признаков делимости. Перестановки, сочетания и их приложение к исчислению вероятностей дают учащимся богатый материал для тренировки мыслительных способностей. В геометрии изучение различных кривых также дает много соответствующих возможностей. Ну, например, нельзя ли с помощью знаний об ограниченных кри вых (эллипс, окружность ) ответить на вопрос, как будут вести себя в бесконечности такие кривые, как парабола и гипербола? Оказывается, можно. Такие неожиданности могут многому научить. Ученики видят, как четко и уверенно аналитическая геометрия со своими уравнениями может привести к цели. Чисто геометрический метод обычно отнимает несколько больше времени, но зато и результаты интересней. Интересным становится сам путь как таковой, ведь именно на пути к цели можно сделать важные открытия.
Десятый-двенадцатый классы
В десятом классе заканчиваются два больших раздела учебного плана. Планиметрия увенчивается тригонометрией. Ученики, которым приходилось ранее довольствоваться рассмотрением специальных случаев треугольников и других фигур, теперь с помощью тригонометрических методов, таблиц или логарифмической линейки овладевают всеми возможными вариантами. Особенно большое удовлетворение они получают от непосредственного применения на деле, скажем, в геодезии, результатов своих измерений. Например, они сами видят на занятиях, как с помощью теодолита получают точные значения углов для сетки опорных треугольников, благодаря которым будущая карта обретает точность и стабильность.
Второй раздел вводит в логарифмы. Отрицательные числа, дроби и нуль ставят новые задачи при исчислении степеней. Все время возникает вопрос, работают ли «старые» арифметические правила и в новой области, которой теперь отважились заняться. Оказывается, работают. И более того: арифметические действия обретают расширенную перспективу и одновременно появляется возможность чисто технически справляться с проблемами, которые обычно отнимают слишком много времени.
Радость от того, что можешь освоить более точные инструменты и пользоваться ими, еще более углубляет интерес к изучению собственной математической «архитектуры» в новых тщательно отобранных учебным планом областях. После триумфа овладения плоскостью в десятом классе вполне объяснима попытка перенести геометрию на изогнутые поверхности. Практической целью обычно являются расчеты расстояний и площадей на глобусе, решение навигационных задач по звездам, проецирование глобуса или его части на плоскость, т. е. составление карты сферической области. Класс ставится здесь перед новой ситуацией и в случае составления карты осознает, что проецировать сферическую область на плоскость, сохраняя расстояния, вполне возможно. Примечательно, однако, что, например, морская карта является не проекцией сферической области, а тщательно рассчитанным изображением с сохранением углов, и поэтому хорошо подходит для нахождения правильного курса плавания в море.
К мотивам, способствующим развитию личности, относятся также вопросы, связанные с понятием бесконечности. Ввести в эту проблематику может изображение перспективы, а также знакомство с понятием предельных значений и с элементами теории множеств Георга Кантора. Есть ли на прямой ещё точки, кроме чисел? Как это прямая или кривая «состоит» из точек? Вопросы о «бесконечно больших» и «бесконечно малых» величинах восходят к парадоксу, сформулированному 2500 лет назад Зеноном.
В тесной связи с этой главой осваивается и углубляется понятие функции как инструмента причинно-следственного мышления, которое было разработано Галилеем, Ньютоном, Лейбницем и другими. В значительной степени обобщаются понятия скорости и ускорения; становятся возможными определения максимальных и минимальных значений, что позже в виде вариационного исчисления внесло свой вклад в нынешнее техническое совершенство.
Изучение понятия бесконечности и учения о функциях приводит к абстрагированию мышления по мере того, как проблемы удаляются от области чувственно-наглядного. Совершенно не исключено, что некоторым учащимся в этих разделах придется довольствоваться общей ориентацией и некими простыми основными понятиями. У других может появиться даже отвращение к этим х-у-z в уравнениях. Они смогут снова обрести интерес только благодаря конструктивным задачам, например, в такой важной области как проективная геометрия. Группа французских математиков (Понселе, Брианшон, Карно и другие ученики великого начертательного геометра Монжа) в начале XIX века увлекалась чисто геометрическими методами и настаивала на том, что с их помощью можно сделать намного больше, чем с помощью не наглядных уравнений аналитической геометрии. Карно хотел «освободить геометрию от иероглифов анализа».
