Обложка первого тома «Интегрального исчисления» Эйлера.
Ньютон
Исаак Ньютон (1643–1727), который считается скорее физиком, чем математиком, внёс чрезвычайно важный вклад в создание математического анализа. Он разработал оригинальную систему решения задач о квадратурах и о спрямлении кривых. Для этого он использовал бесконечные ряды — выражения, которые определяются уравнением, первый член которого содержит изучаемую функцию, а второй — бесконечную сумму функций, имеющих схожее поведение. Например, первым членом следующего уравнения является логарифмическая функция, вторым — сумма бесконечного числа степенных функций, поведение которых известно:
* * *
ТАИНСТВЕННАЯ НАУКА
«Математические начала натуральной философии» Ньютона всегда считались непростыми для понимания — это неудивительно, если учесть, что Ньютон умышленно усложнил свою работу.
Как-то раз он признался другу, что поступил так, чтобы «избежать атак со стороны шарлатанов от математики»: предыдущие работы Ньютона, посвящённые природе света, уже подвергались ожесточённой и не всегда оправданной критике. Некоторые из полученных результатов Ньютон и вовсе записал шифром. Следующая последовательность букв и цифр
6а сс d ае 13eff7i 31 9n4о 4q rr 4s 9t 12vx
отнюдь не сложный ключ или числа из компьютерной программы. Это так называемый логогриф — способ шифрования, который Ньютон использовал для описания своего метода анализа флюксий, чтобы Лейбниц не смог прочитать его записи и приписать их авторство себе. Говорят, что последнему понадобилось бы потратить на расшифровку так много сил, что быстрее было бы самостоятельно прийти к аналогичным результатам.
* * *
Исаак Ньютон на портрете Гэтфрида Кнеллера.
Суть метода Ньютона заключается в том, что с увеличением числа слагаемых второго члена уравнения мы всё больше и больше приближаемся к истинному значению функции. Если мы хотим всего лишь произвести вычисления, достаточно знать желаемую величину ошибки, но если необходимо проанализировать логарифмическую функцию и изучить её поведение, нужно, пусть и неявно, признать существование актуальной бесконечности как суммы ряда. Единственный комментарий Ньютона на эту тему содержится в его работе «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»:
«…Действительно, рассуждения в нём не менее достоверны и уравнения не менее точны, хотя мы, люди конечного ума, и не в состоянии ни обозначить, ни воспринять все члены этих уравнений так, чтобы точно узнать из них искомые величины».
Здесь мы снова видим прагматичный подход Ньютона: учёный говорит, что наши способности воспринять актуальную бесконечность ограничены, но он признаёт её существование как результат рассматриваемых уравнений с бесконечным числом членов.
Во втором издании своей работы «Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых», вышедшем в 1736 году (сама работа датирована 1672 годом), Ньютон использует так называемый метод флюксий. Этот метод предполагал интересный переход: Ньютон перестал рассматривать бесконечно малые как нечто статическое и наделил их способностью двигаться. Он рассматривал переменную как непрерывно движущуюся точку (этим же свойством он наделил прямые и плоскости) и назвал флюентами переменные, обладающие этими свойствами, а флюксией — результат такого движения, то есть сравнение двух различных состояний такой точки. Мы не будем подробно описывать метод флюксий Ньютона и лишь повторим, что Ньютон не считал необходимым использовать в своих вычислениях бесконечно малые величины, так как это могло привести к различным противоречиям.
Он рассматривает эти величины
«…не как состоящие из небольших частей, но как описывающие непрерывное движение. Линии описываются и, следовательно, создаются не наложением точек, а непрерывным движением точек».
С помощью метода флюксий Ньютону удалось найти касательные к кривым, площади подграфиков, длины кривых, а также максимумы и минимумы функций и точки перегиба для различных кривых. Ему удалось сделать это, избежав проблем, связанных с использованием бесконечно малых величин, однако за это ему пришлось заплатить свою цену. Анализ, построенный на этих предпосылках, имел важные ограничения и открыл путь к другим разделам математики, где властвовали дифференциалы — странные бесконечно малые математические объекты, неразрывно связанные с актуальной бесконечностью.
Метод флюксий изложен во французском издании книги Ньютона, вышедшем в 1740 году.
Лейбниц
Первые математические труды Готфрида Лейбница (1646–1716) были посвящены комбинаторике. В них уже проявилась гениальность учёного, однако они были устаревшими и имели определённые черты, характерные для средневековой науки, которой в немецких университетах той эпохи уделялось большое внимание. В 1672 году Лейбниц отправился в Париж с важной дипломатической миссией. Именно тогда основным родом его занятий стала математика — отчасти это произошло под влиянием Христиана Гюйгенса, который познакомил Лейбница с последними математическими открытиями.
В этот период Лейбниц пишет первые работы, посвящённые суммам бесконечных рядов. Одним из наиболее примечательных результатов стал полученный им и названный в его честь ряд, в котором устанавливается неожиданная связь между числом π и нечётными числами:
π/4=1−(1/3)+(1/5)−(1/7)+(1/9)−(1/11)+…
Несомненно, важнейшими работами Лейбница стали его труды по анализу бесконечно малых, положившие начало важнейшему разделу математики — математическому анализу. Неоценимую роль сыграли верно выбранные обозначения. Так, с помощью знаков d и
введённых им для обозначения дифференциала и интеграла, стало возможным объединить множество разрозненных и неоднозначных математических понятий. Лейбниц не всегда действовал внимательно и аккуратно, из-за чего многие его результаты были ошибочными, сравнивал себя с тигром, который «позволяет уйти добыче, которую не смог схватить в первый, второй и третий прыжок».
Прыжком Лейбница был переход от дискретного к непрерывному. Комбинаторика, которой он владел в совершенстве, — это дискретный мир, но мир функций и кривых является не дискретным, а непрерывным, и именно при переходе от одного к другому проявился математический гений и смелость Лейбница, так как он смог преобразовать неделимые Кавальери в новую математическую сущность — бесконечно малые, для чего создал особые алгоритмы. Рассмотрим ключевой элемент созданного Лейбницем анализа бесконечно малых, изложенный в упрощённом виде на языке современной математики.
* * *
СПОСОБНОСТИ К ЯЗЫКАМ
Лейбниц был сыном известного юриста и в шесть лет остался сиротой. Учился он самостоятельно и все силы отдал изучению латыни, так как именно на ней было написано большинство книг в библиотеке, оставшейся от отца. В десять лет Лейбниц уже читал классические труды на латыни и греческом, а в 13 — писал гекзаметром на латыни. Подобными выдающимися способностями к языкам отличается большинство известных математиков.
