2) Комплексные числа окончательно утвердились в математике на рубеже 18—19 вв. только вследствие сопоставления их с точками плоскости, т. е. путём построения «комплексной плоскости». В теории функций комплексного переменного геометрическими методам отводится существенная роль. Само понятие аналитической функции w = f (z) комплексного переменного может быть определено чисто геометрически: такая функция есть конформное отображение плоскости z (или области плоскости z) в плоскость w. Понятия и методы римановой Г. находят применение в теории функций нескольких комплексных переменных.

  3) Основная идея функционального анализа состоит в том, что функции данного класса (например, все непрерывные функции, заданные на отрезке [0,1]) рассматриваются как точки «функционального пространства», причём отношения между функциями истолковываются как геометрические отношения между соответствующими точками (например, сходимость функций истолковывается как сходимость точек, максимум абсолютной величины разности функций — как расстояние, и т.п.). Тогда многие вопросы анализа получают геометрическое освещение, оказывающееся во многих случаях очень плодотворным. Вообще, представление тех или иных математических объектов (функций, фигур и др.) как точек некоторого пространства с соответствующим геометрическим толкованием отношений этих объектов является одной из наиболее общих и плодотворных идей современной математики, проникшей почти во все её разделы.

  4) Г. оказывает влияние на алгебру и даже на арифметику — теорию чисел. В алгебре используют, например, понятие векторного пространства. В теории чисел создано геометрическое направление, позволяющее решать многие задачи, едва поддающиеся вычислительному методу. В свою очередь нужно отметить также графические методы расчётов (см. Номография) и геометрические методы современной теории вычислений и вычислительных машин.

  5) Логическое усовершенствование и анализ аксиоматики Г. играли определяющую роль в выработке абстрактной формы аксиоматического метода с его полным отвлечением от природы объектов и отношений, фигурирующих в аксиоматизируемой теории. На том же материале вырабатывались понятия непротиворечивости, полноты и независимости аксиом.

  В целом взаимопроникновение Г. и др. областей математики столь тесно, что часто границы оказываются условными и связанными лишь с традицией. Почти или вовсе не связанными с Г. остаются лишь такие разделы, как абстрактная алгебра, математическая логика и некоторые др.

  Лит.:Основные классические работы. Евклид, Начала, пер. с греч., кн. 1—15, М. — Л.,1948—50; Декарт Р., Геометрия, пер. с латин., М. — Л., 1938; Монж Г., Приложения анализа к геометрии, пер. с франц., М. — Л., 1936; Ponselet J. V., Traite des proprietes projectives des figures, Metz — Р., 1822; Гаусс К. Ф., Общие исследования о кривых поверхностях, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Лобачевский Н. И., Полн. собр. соч., т. 1—3, М. — Л., 1946—51; Больаи Я., Appendix. Приложение,..., пер. с латин., М. — Л., 1950; Риман Б., О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии, пер. с нем., в сборнике: Об основаниях геометрии, М., 1956; Клейн Ф., Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»), там же; Картан Э., Группы голономии обобщенных пространств, пер. с франц., в кн.: VIII-й Международный конкурс на соискание премии имени Николая Ивановича Лобачевского (1937 год), Казань, 1940; Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М. — Л., 1948.

  История. Кольман Э., История математики в древности, М., 1961; Юшкевич А. П., История математики в средние века, М., 1961; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Cantor М., Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik, Bd 1—4, Lpz., 1907—08.

  Курсы. а) Основания геометрии. Каган В. Ф., Основания геометрии, ч. 1, М. — Л., 1949; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Погорелов А. В., Основания геометрии, 3 изд., М., 1968.

  б) Элементарная геометрия. Адамар Ж., Элементарная геометрия, пер. с франц., ч. 1, 3 изд., М., 1948, ч. 2, М., 1938; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, М., 1969.

  в) Аналитическая геометрия. Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Погорелов А. В., Аналитическая геометрия, 3 изд., М., 1968.

  г) Дифференциальная геометрия. Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М. — Л., 1950; Каган В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1—2, М. — Л., 1947—48; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, М., 1969.

  д) Начертательная и проективная геометрия. Глаголев Н. А., Начертательная геометрия, 3 изд., М. — Л., 1953; Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  е) Риманова геометрия и её обобщения. Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М. — Л., 1964; Норден А. П., Пространства аффинной связности, М. — Л., 1950; Картан Э., Геометрия римановых пространств, пер. с франц., М. — Л., 1936; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948.

  Некоторые монографии по геометрии. Федоров Е. С., Симметрия и структура кристаллов. Основные работы, М., 1949; Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М. — Л., 1950; его же, Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М. — Л., 1948; Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; Буземан Г., Геометрия геодезических, пер. с англ., М., 1962; его же, Выпуклые поверхности, пер. с англ., М., 1964; Картан Э., Метод подвижного репера, теория непрерывных групп и обобщенные пространства, пер. с франц., М. — Л., 1936; Фиников С. П., Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М. — Л., 1948; его же, Проективно-дифференциальная геометрия, М. — Л., 1937; его же, Теория конгруенций, М. — Л., 1950; Схоутен И. А., Стройк Д. Дж., Введение в новые методы дифференциальной геометрии, пер. с англ., т. 1—2, М. — Л., 1939—48; Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965.

  А. Д. Александров.

Геоме'трия резца', форма и углы заточки режущей части резца. Г. р. влияет на характер процесса резания материалов, на его производительность и экономичность, качество обработанной детали, стойкость (время работы до нормального затупления) резца и т.п. Все определения по Г. р., приводимые ниже, справедливы для др. режущих инструментов (свёрл, протяжек, фрез). Режущую часть составляют рабочие поверхности (рис. 1): передняя, по которой сходит образующаяся в процессе резания стружка, задняя главная и задняя вспомогательная, обращенные к обрабатываемой поверхности заготовки. Рабочие поверхности при пересечении образуют режущие кромки.

  Главная режущая кромка, выполняющая основную работу при резании, образуется в результате пересечения передней и главной задней поверхности; вспомогательная режущая кромка — при пересечении передней и вспомогательной задней поверхности. Место сопряжения главной и вспомогательной режущих кромок называется вершиной резца. Вершина резца — наиболее ослабленная его часть, определяющая прочность режущей части кромки резца в целом; поэтому для повышения прочности вершина резца делается либо закруглённой (с радиусом 0,5—2 мм), либо в виде прямолинейной переходной режущей кромки (длиной 0,5—3 мм).

  Элементы режущей части резца подразделяют на статические, определяющие углы заточки инструмента, и кинематические, зависящие от характера процесса резания и от установки резца. Углы заточки определяют форму режущей части при проектировании, изготовлении и контроле резца. Режущая часть резца имеет форму клина, заточенного под определёнными углами. Для определения углов установлены следующие координатные плоскости: плоскость резания и основная плоскость. Плоскость резания — это плоскость, касательная к поверхности резания и проходящая через главную режущую кромку. Основная плоскость — плоскость, параллельная продольной (параллельной оси заготовки) и поперечной (перпендикулярной оси заготовки) подачам резца. Эти координатные плоскости взаимно перпендикулярны. Главные углы резца определяются в главной секущей плоскости, перпендикулярной проекции главной режущей кромки на основную плоскость (рис. 2). Главный задний угол a — угол между главной задней поверхностью резца и плоскостью резания. При выборе заднего угла, во избежание трения задней поверхности резца об обрабатываемую поверхность и поверхность резания, учитывают величину подачи: чем она больше, тем больше задний угол. Угол заострения b — угол между передней и главной задней поверхностями резца. Главный передний угол g — угол между передней поверхностью резца и плоскостью, перпендикулярной плоскости резания. Выбор переднего угла зависит прежде всего от физико-механических свойств обрабатываемого материала. Чем больше передний угол, тем легче процесс образования стружки, тем меньше усилие резания и затрачиваемая мощность. Чем выше твёрдость обрабатываемого материала, тем меньшие значения передних углов резца принимают для его обработки. Угол резания d — угол между передней поверхностью резца и плоскостью резания. Главный угол в плане j— угол между направлением подачи и проекцией главной режущей кромки на основную плоскость; вспомогательный угол в плане j₁ — угол между направлением подачи и проекцией вспомогательной режущей кромки на основную плоскость. Углы j и j₁ определяют, с одной стороны, условия работы режущей кромки, а с другой — распределение нагрузки от силы резания. Чем меньше угол в плане, тем (при неизменной глубине резания и подаче) меньше тепловая и силовая нагрузки на единицу длины главной режущей кромки, а следовательно, лучше условия работы. Уменьшение угла в плане ниже оптимального значения может привести к чрезмерной деформации обрабатываемой заготовки, к снижению точности обработки и вибрациям. Угол при вершине в плане e — угол между проекциями режущих кромок на основную плоскость: e = 180°— (j +j₁). Угол в плане переходной (прямолинейной) режущей кромки j — угол между направлением подачи и проекцией переходной режущей кромки на основную плоскость: обычно j₀ = j /2. Угол наклона главной режущей кромки l — угол, заключённый между режущей кромкой и линией, проведённой через вершину резца параллельно основной плоскости; угол l положительный, когда вершина резца — наинизшая точка режущей кромки; отрицательный, когда вершина резца — наивысшая точка, и равен нулю, если главная режущая кромка параллельна основной плоскости. Угол l оказывает влияние на направление схода стружки.