Эти осложнения с понятием поля, которые являются следствиями квантовой теории, уже достаточно плохо выглядят, но вдобавок к ним мы узнали, что существует много предсказаний, которые мы хотели бы сделать относительно электромагнитного поля, но которые приводят к бесконечным ответам. Одно из них я уже упоминал. Поскольку существует нулевое колебание для каждого типа колебаний электромагнитного поля, и поскольку существует бесконечное число таких типов (так как нет нижнего предела для возможной длины волны и, следовательно, нет верхнего предела для момента протона), средняя энергия этого флуктуирующего поля, вычисленная обычным путём, оказывается бесконечно большой. Это тесно связано с растущей интенсивностью флуктуаций по мере того, как рассматриваются все меньшие и меньшие области. Поэтому нам следует объяснить, о чем мы говорим, когда утверждаем, что то, что мы действительно наблюдаем как энергию, есть только энергия поля минус энергия, которая существовала бы там нормально в вакууме. Таким способом мы выключаем себя из бесконечной энергии вакуума. Пожалуй, это можно было бы сделать несколько более приемлемым благодаря тому факту, что в вакууме существуют бесконечности, одни из которых являются положительными, а другие отрицательными. При достаточном благоразумии можно убедить себя, что эти бесконечности могут взаимно уничтожаться или, по крайней мере, в том, что ответ двусмыслен и необходимо принять разумную точку зрения, состоящую в таком описании, при котором вакууму не приписывают никакой энергии.

Эти бесконечности умножаются, когда рассматривается взаимодействие частиц с полями или друг с другом. Так, если мы описываем электрон как точечный заряд, тогда энергия поля, им создаваемая (даже энергия статического поля), бесконечно велика. Это было известно Лоренцу, который попытался ввести такую схему, в которой электрон был не математической точкой, а имел конечные размеры.

Сначала была надежда, что квантовая теория устранит это затруднение так же, как она практически устранила все затруднения доквантовой физики. Однако в действительности это затруднение осталось. Энергия точечного заряда все ещё бесконечна, даже если привлечь все квантовые законы. Мы научились справляться с этим потому, что не знаем энергии покоя электрона самого но себе. Мы не можем сказать, какая энергия покоя была бы у него, если бы был устранён весь заряд, так как мы никогда не видели электрона без заряда. То, что мы наблюдаем, есть полная масса или полная энергия покоя частицы со всеми связанными с ней полями. Поэтому все вычисления должны производиться так, будто только эта наблюдаемая величина входит в них. Развитие квантовой теории поля в послевоенные годы научило нас, что если мы будем следовать такой процедуре, то вещи будут выглядеть лучше. Конечно, это включает фикцию, состоящую в том, что частица обладает бесконечной отрицательной механической энергией или массой — такой же фикцией, как и бесконечная положительная энергия электромагнитного поля с частицей, находящейся в середине его. Если мы примем, что эти частицы взаимно уничтожаются,— не произвольно, как это может показаться, но в силу определённых процессов, которые были последовательно развиты, тогда все физически наблюдаемые результаты, могут быть выражены через другие наблюдаемые результаты, и все получается конечным.

Должны ли мы уплатить какую-то цену за эту в основном непоследовательную картину? означает ли это, что если мы проведём расчёты за пределы точности, практически достижимой в настоящее время, то мы встретимся с трудностями (как полагают многие) или же мы сумеем выразить все непосредственно только через физические величины, не прибегая к двум отдельным понятиям — энергии поля и механической энергии, которая тогда исчезнет из физики, как исчезли механические модели Максвелла за уравнениями, которые он написал,— судить ещё рано.

Развитие кинетической теории газов (Максвелл) ⁴¹

С. Дж. Бруш

Существенным свойством газа является случайное движение составляющих его частиц: фактически слово «газ» означает само по себе хаос [1]. Вначале теоретики кинетической теории [2] стремились игнорировать это свойство. Они основывали свои математические доказательства на допущении, что все молекулы движутся с одной и той же скоростью, а иногда вдобавок к этому предполагали, что все молекулы расположены правильными рядами в пространстве, а затем предлагали приемлемые аргументы для доказательства, что результаты были бы теми же самыми, если бы молекулы двигались случайным образом. Именно Максвеллу мы обязаны введением статистического подхода в кинетическую теорию.

Основная гипотеза Максвелла состояла в том, что многочисленные столкновения между молекулами газа, вместо того, чтобы привести к выравниванию скоростей молекул, как предполагали некоторые учёные [3], на деле приводят к статистическому распределению скоростей, в котором могут встречаться любые скорости с известной вероятностью. Существование единственного равновесного распределения, к которому будут стремиться другие распределения, долгое время не было строго доказано и оставалось предметом разногласий в течение многих лет. Однако успех мощных методов статистической механики, которая использует максвелловское распределение в качестве основы для расчёта макроскопических свойств физических систем, а также и более непосредственные эксперименты доказывали, что эта гипотеза в основном правильна [4].

Первая статья Максвелла по кинетической теории была доложена на собрании Британской ассоциации в 1859 г. [5]. Он начал с указания на то, что при столкновении двух упругих шаров все направления отдачи являются равноправными [6]. По-видимому, он считал, что этот факт обеспечивает не только то, что все направления движения являются равновероятными в газе, но также и то, что вероятность распределения для каждого компонента скорости не зависит от значений других компонентов. Первое доказательство его закона распределения основывалось на этих двух допущениях. Максвелл позже понял, что справедливость второго предложения не очевидна, и потому попытался дать другое доказательство [7], в котором это свойство выводилось, а не являлось допущением.

Оригинальный вывод закона распределения таков: «Найти среднее число частиц, скорости которых после большого числа столкновений между большим числом равных частиц лежат между заданными пределами.

Пусть N — целое число частиц. Пусть x, y, z — компоненты скорости каждой частицы в трёх взаимно перпендикулярных направлениях, и пусть число частиц, для которых x лежит между x и x+𝑑x, будет Nƒ(x)𝑑x, где ƒ(x) функция от x которая должна быть определена.

Число частиц, для которых y лежит между y и y+𝑑y, будет Nƒ(y)𝑑y; а число частиц, для которых z лежит между z и z+𝑑z будет Nƒ(z)𝑑z, где под ƒ всегда подразумевается одна и та же функция.

Наличие скорости x никак не влияет на скорости y или z, потому что все слагающие направлены под прямыми углами друг к другу и не зависят друг от друга, так, что число частиц, скорости которых лежат между x и x+𝑑x и также между y и y+𝑑y и между z и z+𝑑z равно

Nƒ(x)ƒ(y)ƒ(z)𝑑x𝑑y𝑑z.

Если предположить, что эти N частиц начинают движение из начала координат в тот же момент, то это число означает число частиц в элементе объёма (𝑑x𝑑y𝑑z) через единицу времени, а число, отнесённое к единице объёма, будет

Nƒ(x)ƒ(y)ƒ(z).

Но направления координат вполне произвольны, и поэтому это число должно зависеть только от расстояния от начала, т. е.

ƒ(x)ƒ(y)ƒ(z)

=

φ(x²+y²+z²).

Разрешая это функциональное уравнение, находим