Симметрию вихревых уравнений Максвелла в том виде, как они применяются к вихревой губке, легко истолковать физически. Первое из уравнений (8), аналог закона Фарадея, утверждает, что накопленная завихрённость, создаваемая дрейфом, определяет скорость вращения среды; второе уравнение утверждает, что дифференциальное вращение определяет дрейф. Очевидно, дрейф и сопутствующие ему структурные изменения являются теми свойствами вихревой губки, которые резко отличают её от упругих твёрдых тел. У последних члены, соответствующие 𝑑E/𝑑t, отсутствуют.

Так как эти представления не могут быть проверены наблюдением, то они не обладают физической реальностью. Цель настоящей статьи не в том, чтобы предположить, что Вселенная наполнена эфиром со свойствами, описанными в этой статье. Однако эта статья трактует об эфире и, следовательно, относится к истории развития физики.

Для того чтобы рассматривать задачи математической физики, часто необходимо и почти всегда полезно использовать модель, основное значение которой именно в том, что она полезна в рассматриваемом случае. В этом отношении рассматриваемые понятия относятся к теоретической физике. Следует упомянуть, что польза этой модели не исчерпывается выводом уравнений Максвелла.

Приложение 1. Векторная природа трубок

Для некоторых целей можно разлагать длины трубок подобно векторам — метод, полезный для наглядности.

Длинный круговой цилиндр с циркуляцией 2πκ и поперечной скоростью ξ в жидкости с плотностью ρ подвергается действию подъёмной силы 2πκρξ на единицу длины. И, наоборот, этот цилиндр развивает тягу в противоположном направлении такой же величины на жидкость. Рассмотрим трубку длиной l, где l=il_x+jl_y+kl_z, причём направление совпадает с направлением κ. Пусть 𝑑ξ/𝑑t — скорость дрейфа. Только компонента 𝑑ξ/𝑑t, нормальная к l связана с тягой f, т. е. f=2πκρ𝑑ξ/𝑑t×l.

Рассмотрим теперь тягу, создаваемую трубкой длиною l_y вдоль оси y с вертикальным дрейфом ξ и другую трубку длиною l_z вдоль оси z с горизонтальным дрейфом. Комбинированная тяга параллельна оси x и по величине равна 2πκρ(ξ_yl_z-ξ_zl_y), т.е. точно равна компоненте x силы ƒ. Поэтому отрезки трубок можно разлагать подобно векторам для расчётов тяги, создаваемой дрейфом.

Индуцированная скорость в точке P, создаваемая элементом объёма 𝑑V в Q с завихрённостью ζ_Q равна 𝑑q_P=(𝑑V/4πr³)×ζr, где r — вектор, направленный из Q в P. Для элемента длиною 𝑑l круговой вихревой трубки радиуса α и циркуляции 2πκ произведение ζ_Q𝑑V можно записать в другой форме, заметив, что угловая скорость трубки равна ½ζ_Q, так что скорость на поверхности трубки равна ½ζ_Qα. Но эта скорость равна также κ/α, что учитывая, что 𝑑V=πα²𝑑l, даёт

ς

_Q

=(2κ/α²),

ζ

_Q

𝑑V=(2κ/α²)πα²𝑑

l

=2πκ𝑑

l

Так как 𝑑l можно разложить, то отсюда следует, что скорость, индуцируемая элементом вихревой трубки, такая же самая, как и скорость, индуцируемая её компонентами.

Когда все элементы трубки в единице объёма разложены вдоль x, y, z, то длина разложенной трубки вдоль каждой координаты составляет половину полной длины трубки в этом объёме. Это следует из того факта, что для сферически симметричного распределения единичных векторов среднее значение каждого направляющего косинуса равно ½.

Приложение 2. Кинематика изогнутых трубок

Как было показано^48d, изолированное вихревое кольцо кругового сечения с хорошим приближением перемещается со скоростью

v=

1

2

Kc

⎡

⎣

ln(8/ac)-

1

4

⎤

⎦

,

где c — кривизна кольца, а a — радиус поперечного сечения в предположении, что этот радиус мал по сравнению с радиусом кольца. Направление v совпадает с направлением κ×c, где c — векторная кривизна. Вторым членом в скобках можно пренебречь, так как и a, и c крайне малы по сравнению с единицей.

Рассмотрим теперь сечение трубки с кривизной c. Если c достаточно мало, то индуцированная скорость жидкости в этом сечении, происходящая от отдалённых частей трубки, будет оказывать пренебрежимо малое действие, так что скорость продвижения будет почти такой же, как и у кругового вихревого кольца той же кривизны. Ради простоты рассмотрим трубки, направленные вдоль оси y с малой кривизной с по отношению к положительной оси x. Эти трубки будут смещаться в направлении отрицательных z со скоростью v. Если добавить к с малое увеличение кривизны Δc также вдоль оси x, то скорость станет

v+Δv=½κ(c+Δc)ln[8/a(c+Δc)].

Если Δc достаточно мало, то можно пренебречь степенями Δc/c высшими, чем первая, и разложить правую часть в виде

v+Δv=½κc ln (8/ac)+

⎡

⎣

1

2

κ ln (8/ac)

⎤

⎦

Δ

c=

v+α'

Δ

c, где α=

1

2

κ ln (8/ac).

В нейтральной среде v столь же часто отрицательна, как и положительна, так что макроскопические направляющие эффекты в среднем равны нулю. Кривизна c для различных трубок различна, а также различна для одного и того же элемента трубки в различные моменты времени, так что необходимо воспользоваться средним значением для α', которое определяется как коэффициент дрейфа α. Если к каждой трубке добавляется кривизна Δc в том же самом направлении, то можно, после взаимного уничтожения членов v, написать

Δv=αΔc.

Скорость Δv в направлении -z определяется как дрейф. Поскольку тяга, создаваемая этой скоростью, одинаково направлена для всех трубок, она создаёт макроскопический направляющий эффект.

Приложения

Джемс Клерк Максвелл

Наука захватывает нас только тогда, когда, заинтересовавшись жизнью великих исследователей, мы начинаем следить за историей развития их открытий.

Максвелл

Его отец, Джон Клерк, принявший фамилию Максвелл, принадлежал к знатному шотландскому роду Клерков из Пеникуика. Среди представителей этого рода были горнопромышленники, купцы, политические деятели, музыканты, поэты, судьи... Членом коллегии адвокатов числился и сэр Джон, по, по его словам, он «питал неприязнь к грязным адвокатским делишкам» и юриспруденцией не занимался. Молодость его прошла в Эдинбурге, бывшем тогда средоточием культурной жизни Шотландии, за что его несколько выспренне именовали «Северными Афинами». Сар Джон любил путешествовать, вёл дневники наблюдений, был отличным метальщиком ядра. С необычным для человека его круга интересом следил он за развитием промышленности, за техническими новшествами (особенно в области паровых машин) и даже сам ставил эксперименты. Так, он пытался сконструировать воздуходувные мехи, дающие постоянный ток воздуха. Он посещал заседания Эдинбургского Королевского общества и опубликовал несколько научных статей на темы прикладного характера. После смерти матери сэр Джон женился на дочери судьи шотландского адмиралтейства Кея, находившегося в дружеских отношениях с самим Вальтером Скоттом. Франсеза была старше мужа на шесть лет. Женщина хозяйственная, предприимчивая, решительная, она была близка ему и по духу. В частности, она разделяла его тягу к деревенской жизни. После того как умерла их маленькая дочь, они решили покинуть Эдинбург. В своё время сэр Джон унаследовал старое поместье Миддлби — на западном побережье, в двух днях езды от столицы. Оно состояло из фермы и вересковой пустоши, каменистую землю покрывали мхи, но Максвеллы верили, что создадут здесь райский уголок. Часть земли обменяли, прикупили новой. Построенный по проекту хозяина двухэтажный, из темно-серого камня дом стоял на возвышенности, около того места, где ручей, вытекавший из торфяника, впадал в Ор. На склоне, у ручья, разбили сад. Так Миддлби превратилось в Гленлэр—«берлога в узкой лощине». Холмистые берега Ора были покрыты лесом; купы деревьев защищали дом от ветров. Милях в восьми находился Солуэй-Ферт — залив Ирландского моря.