F
=-2πκρ(α ½ curl curl
D
)(½L)=
=-½πκραL curl curl
D
.
(2)
Знак минус получается от того, что curl curl D противоположно кривизне по направлению. Сравнение с (1) даёт соотношение F=½πκρα L. Так как тяга на единицу длины трубки равна 2πρ𝑑ξ/𝑑t×κ, то тягу на единицу объёма F можно записать в виде
F
=2π(𝑑ξ/𝑑t×κ)(½L)=πρL𝑑ξ/𝑑t×κ
(3)
Подставляя это выражение для F в (2), получим
𝑑ξ/𝑑t×κ=-½κα curl curl
D
.
(4)
Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой C (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления циркуляции, причём за положительное направление принято направление против часовой стрелки. Из предыдущих рассуждений ясно, что если некомпенсированная кривизна такова, что трубка 1 дрейфует в C, то трубка 2 имея противоположную циркуляцию, будет дрейфовать из C. Подъёмная сила на каждую трубку направлена вдоль -F, а тяга на жидкость направлена вдоль F.
Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.
Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут дрейфовать внутрь C, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать C, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок. Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг C связан со скоростью изменения результирующей циркуляции вокруг C. На рис. 3 элемент длины дуги 𝑑r обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка), по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие. Число положительных трубок, пересекающих 𝑑r влево в единицу времени, в ξ𝑑r cos θ раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число отрицательных трубок, покидающих C, такое же самое. Отрицательная трубка, покидающая C, есть та же самая в отношении циркуляции C, что и положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не вносят никакой доли в циркуляцию C. Каждая трубка внутри C вносит 2πκ единиц циркуляции в C, а так как плотность разлагаемых трубок в направлении, нормальном к рисунку, есть ½L то скорость изменения циркуляции вокруг C равна
∂/∂C (circ C) =
∮
2πκ(½L)(ξ𝑑r cos θ).
На основании (3), учитывая, что 𝑑ξ/𝑑t нормально к κ, можно записать
F
𝑑
r
=πρκLξ𝑑r cos θ,
так что
∂/∂t(circ C) = 1/ρ
∮
F
𝑑
r
.
По мере того как размеры контура C становятся малыми (однако недостаточно малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены, разделённые на площадь, охватываемую C, приближаются к компоненту, нормальному плоскости рисунка
∂/∂t(curl
q
)=1/ρ curl
F
,
(5)
где q — макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической скорости жидкости).
Теперь напишем q в виде 𝑑D/𝑑t перегруппируем члены в (5). Принимая во внимание (2), получаем
curl
F
= ρ curl ∂²
D
/∂t²,
F
=-G curl curl
D
.
(6)
За исключением некоторых деталей, относящихся к дрейфу, эти уравнения представляют расчленённую форму (1). Теперь определим два новых вектора для того, чтобы ввести дрейф явным образом (выбор символов предусматривает возможность аналогии с электромагнитными полями, как это следует из дальнейшего); пусть из уравнения (3)
∂
E
=∂t=𝑘
1
(πρL𝑑ξ/𝑑t×
κ
)=𝑘
1
F
и B=𝑘2 curl D, где 𝑘1 и 𝑘2 — произвольные постоянные. Теперь уравнения (6) принимают вид
curl ∂
E
/∂t = -(𝑘
1
ρ/𝑘
1
)∂²
B
/∂t²,
curl
B
= (𝑘
2
/𝑘
1
G)∂
E
/∂t.
Если предположить, что установившиеся поля отсутствуют, то интегрирование по времени первого из этих уравнений и приравнивание к нулю даёт аналог вихревых уравнений Максвелла для свободного пространства
curl
E
= -(𝑘
1
ρ/𝑘
2
) ∂
B
/𝑑t,
curl
B
= (𝑘
2
/𝑘
1
G) ∂
E
/𝑑t
(7)
Так как 𝑘2 и 𝑘1 произвольны, то можно выбрать 𝑘2=ρ𝑘1 итогда получим
curl
E
= -∂
B
/𝑑t,
curl
B
= (1/c²) ∂
E
/𝑑t
(8)
где c²=G/ρ — квадрат волновой скорости.
Из этого факта, что B есть вихрь вектора, получаем
div
B
= 0.
(8a)
На основании (4) получаем div 𝑑E/𝑑t=0 или div E не зависит от времени. Так как мы предположили, установившиеся поля отсутствуют, то для рассматриваемых частных случаев должно быть
div
E
=0.
(9)
Если выбрать 𝑘1 безразмерным, то 𝑑E/𝑑t будет иметь размерность силы на единицу объёма, а E — размерность импульса на единицу объёма. Так как curl D безразмерен, то B имеет размерности 𝑘2 которые при специальном выборе, сделанном для получения уравнения (8), представляют размерность массовой плотности. Волновая скорость должна быть независимой от выбора 𝑘1 и 𝑘1 — факт, который подтверждается уравнениями (7).
IV. Заключение
Было показало, что поперечное движение трубок относительно жидкости получается как результат смещений, индуцирующих некомпенсированную кривизну. Это исключает необходимость в «холостых колёсах» и «упругих ячейках» максвелловской модели48c. Вместе с тем поляризация, вращения и дифференциальные вращения получаются естественным путём, заменяя гипотезу гидростатической устойчивости Мак-Келлога. Как было показано в настоящей статье, уравнения Максвелла также удовлетворяют модели Бернулли, свободной от большей части уродливых особенностей моделей Максвелла и Мак-Келлога.
