«Очень вероятно», – писал американский историк К. Керам, – «что древние охотники предпочитали убивать молодняк (это было легче и безопаснее, а его мясо было вкусней, чем у взрослых животных), и это сокращало шансы на выживание целых видов».

«Нельзя точно доказать, что именно человек повинен в вымирании крупных животных, – пишет немецкий историк Иоахим Радкау на страницах вышедшей недавно книги «Природа и власть. Всемирная история окружающей среды». – Однако все улики свидетельствуют, что они истреблены людьми. С незапамятных времен люди научились затравливать зверей огнем, заманивая их в пропасть. Во многих местах, где охотился человек каменного века, находят громадные кучи костей. Можно вспомнить останки свыше тысячи мамонтов в Моравии или свыше ста тысяч диких лошадей во французском Солютре». Мелких животных древние охотники могли убивать единицами, сражая камнем, стрелой или копьем. Против крупного зверья их оружие было бессильно, поэтому они истребляли его… тысячами.

Пока поголовье того или иного вида животных было достаточно велико, «дебет волков, стихий и индейцев» ему был не страшен. Однако, если равновесие нарушалось, следовала катастрофа. Колебания климата, внезапная эпидемия, натиск новых врагов приводили очередной вид животных на грань вымирания. Так случилось с бизонами. Они, как и сами индейцы, были обречены. Внезапное появление на сцене авантюристов, вроде Буффало Билла, и генералов, твердивших, что «хороший индеец – это мертвый бизон», лишь ускорило развязку. События замелькали с поразительной быстротой.

В конце концов, немногие выжившие после войны индейцы удалились в резервацию. Генералы и политики подсчитали победы, а зоологи – уцелевших бизонов. К началу XX века осталось лишь около пятисот диких быков, проживавших под охраной в Йеллоуетонском национальном парке в США, а также на некоторых ранчо. Тогда было создано Общество спасения бизонов. Почти вымерших животных стали разводить.

Памяти Даниила Семеновича Данина посвящается

Камиль Бахтияров

Встречи с Даниилом Семеновичем Даниным – кентаврические встречи, как он их называл, послужили для меня сильным творческим импульсом, недаром говорят: идеи носятся в воздухе.

И уже л по горло в двухмерную плоскость проник. Арсений Тарковский.

Сегодня возникают новые языковые средства и возможности иного взгляда не только на логику {включая формально логические парадоксы), но и на ряд традиционных и привычных математических объектов. От последовательной обработки – к параллельной (одновременной!). Оптические процессы в компьютерной технологии – «параллельные» по своим физическим возможностям. Но зти возможности упираются в наши «одномерные» представления о логике.

В этом номере предлагаем статью Камиля Бахтиярова, профессора кафедры высшей математики, доктора философских наук. Для специалистов скажем: именно Бахтияров провел арифметизацию силлогистики – механизма логического вывода. А каждый, даже небольшой шаг формализации в области формальной логики происходит нечасто.

Статья началась с выступления на выставке-семинаре неизбежность квадрата в мае 1999, фактически – на встрече трех семинаров: художников-формалистов, физиков-структурал истов, математиков-семметрологов – с неизбежной проблемой языкового контакта.

Возникновение кентавристики, новой научной дисциплины, предложенной писателем Даниилом Даниным (1914 – 2000), выражает потребность в адекватном представлении научных образов. Кентавр – это метафора сочетания несочетаемого. Выход – увеличение размерности – требует прибегнуть к услугам математических драконов – векторов.

Это вполне удовлетворяет девизу «Ohne tierisch Ernst» («Без звериной серьезности»), провозглашенному датским физиком Нильсом Бором (1885 – 1962). Атмосфера на его семинарах вполне соответствовала принципу: «Для серьезного развития серьезных наук нет ничего пагубнее звериной серьезности. Нужен юмор и некоторая издевка над собой и над науками. Тогда все будет процветать».

(X.Y,Z) = VECTOR.

Метафорой логической многомерности может служить трехглавый дракон. У него три головы, но сердце одно. Логический вывод сводится к исключению посредника – средней головы дракона. Заключение как бы говорит: «Не бери в среднюю голову».

Голубой трехглавый Дракон был изображен на щите предводителя греческих войск в Троянской войне – царя Агамемнона, а Змей-Горыныч – излюбленный персонаж русских народных сказок.

«Головы Горыныча посоветовались между собой.

– По-моему, он хамит,

– сказала одна.

Вторая подумала и сказала:

– Дурак, а нервный.

А третья выразилась и вовсе кратко:

– Лангет,

– сказала она».

(В. Шукшин. «До третьих петухов»)

Трехглавый дракон – это метафора трехмерного логического вектора. Например, кафедра истории математики находится в аудитории 1609 главного здания МГУ. Это вектор с координатами: номер этажа – 16 и номер комнаты – 09. В США используется слово «вайлтс» – обхват груди, талии, бедер. Наш писатель И. Ефремов (1907 – 1972) приводит вайлтс Сандры, героини романа «Лезвие бритвы»: 38-22-38 (в дюймах). Вполне очевидно, в повседневной жизни мы весьма смело переходим на векторные обозначения.

Современное мышление становится насквозь неклассическим. Неклассическая логика и неклассическая геометрия применяются в квантовой физике и теории относительности. Принцип дополнительности Н. Бора, описывающий квантовые волны-частицы, является принципом неклассической логики. Углубляющаяся иррационализация рационального знания во многом обязана математике, поразительная эффективность которой объясняется сверхмощью парадоксальных понятий. Но математики уже давно оперируют логическими векторами, фундаментальными в математике объектами. Запретить? От парадоксов не избавиться, сказав, что полкового брадобрея, бреющего всех, кто не бреется сам, не существует. Загадка и действие парадокса: смысл возникает в обоих смыслах-направлениях, берущихся сразу.

Как говорил Нильс Бор, «утверждение тривиально, и содержательность его неглубока, если прямо противоположное утверждение наверняка вздорно. А вот если и прямо противоположное полно смысла, тогда суждение нетривиально…»

Расселовский брадобрей – это любитель-профессионал, подобный двуликому Янусу. У лжеца можно спросить: «Что это, самокритика или самооговор»? Но об этих ситуациях нельзя сказать, что они не существуют. Простейшая модель двуединства – двухмерный логический вектор ЧЕТА = {муж, жена} – целостный комплекс с взаимозависимыми аспектами: женатый мужчина (муж) и замужняя женщина (жена), принимающий собственные значения: или – или.

Парадоксы разрешаются с помощью геометрической или логической многомерности. Сжатым образом парадоксальной ситуации может служить перекресток. Логическое разрешение перекрестной ситуации обычно реализуется с помощью светофора.

Все современные парадоксы родственны известному еще в древности парадоксу «Лжец». Критскому философу Эпимениду (VI век до новой эры) приписывается высказывание: «Все критяне – лжецы». Допустим, что высказывание Эпименида истинно, тогда в силу своего смысла и того обстоятельства, что сам Эпименид – критянин, оно оказывается ложным.

Для решения парадокса будем различать ложь и закавыченную «ложь». Закавыченные оценки – это ярлыки, навешиваемые на истинности достоверно (при их совпадении) или недостоверно (при их несовпадении). В парадоксе содержатся две различные ситуации, поскольку ярлык «ОТВЕРГНУТОЕ» можно навесить как на ЛОЖЬ, так и на ИСТИНУ: см. таблицу.