Особые заслуги в теории механизмов принадлежат Ивану Алексеевичу Вышнеградскому (1831—1895), ученику Остроградского по Главному педагогическому институту в Петербурге, физико-математическое отделение которого он окончил в 1851 г. После защиты магистерской диссертации «О движении системы материальных точек, определяемой полными дифференциальными уравнениями» (1854) Вышнеградский преподавал математику и прикладную механику в Артиллерийской академии, а затем начал работать и в Петербургском технологическом институте. Помимо названных курсов он читал и другие, теорию упругости, термодинамику, различные части машиностроения и т. д. В 1862 г. он был утвержден профессором механики, в 1888 г. избран почетным членом Академии наук.

Вышнеградский был выдающимся инженером-конструктором и теоретиком. Главным вкладом его в науку явилось создание теории автоматического регулирования, основания которой он изложил в двух сочинениях — «О регуляторах прямого действия» (1877) и «О регуляторах непрямого действия» (1878). Свои открытия Вышнеградский тогда же опубликовал во французских и немецких журналах.

Введенные Вышнеградским понятия и методы получили широкое применение в современной теории регулирования, приобретающей все большее и большее значение в самых различных областях производства. Имя Вышнеградского носит, например, критерий устойчивости системы регулирования.

В 1909 г. было опубликовано исследование Н.Е. Жуковского «Сведение динамических задач о кинематической цепи к задачам о рычаге». Она заключает в себе теорему, имеющую глубокое принципиальное значение. Сущность этой теоремы состоит в том, что вопрос о равновесии механизма, т. е. системы тел, сводится к более простой задаче равновесия одного твердого тела, вращающегося вокруг данного центра. Метод Жуковского давал возможность решить общую задачу динамики механизмов (для механизмов с одной степенью свободы), состоящую в определении движения механизмов под действием заданных сил, т. е. позволял произвести кинетостатическии расчет механизма с учетом сил инерции.

В 1914—1917 гг. появились работы профессора Петербургского политехнического института Л.В. Ассура (1878—1920), давшего новую общую систему классификации плоских кинетических цепей, на которой основывается методика исследования плоских механизмов, причем каждому классу соответствует свой метод анализа. Классификация Ассура и ряд введенных им понятий («точки Ассура» и др.) играют важную роль в современной теории механизмов и машин.

Проблема вращения твердого тела — характерный пример тех механико-математических проблем, которые стояли в центре теоретической механики во второй половине XIX в. Начиная с С.В. Ковалевской (1850—1891), русские ученые вносят крупный вклад в решение этой проблемы. Факты богатой событиями биографии Ковалевской и оценку ее математических работ можно почерпнуть из весьма обширной литературы. Мы остановимся лишь на главных вехах ее жизни.

С 1868 г. С.В. Ковалевская, жившая до того в Москве, вступила в брак с В.О. Ковалевским (впоследствии знаменитым палеонтологом) и уехала с ним в Петербург, где обратилась к П.Л. Чебышеву с просьбой разрешить ей слушать его лекции в университете. Но в силу законов того времени она, будучи женщиной, не могла быть допущена на эти лекции. В 1869 г. Ковалевские уехали за границу. Здесь Ковалевская систематически изучала математику и физику, посещая в Гейдельбергском университете лекции крупнейших ученых того времени. Через два года она переехала в Берлин, где преподавал Карл Вейерштрасс (1815—1897).

В Берлинский университет женщин тогда тоже не допускали, и Вейерштрасс начал заниматься с Ковалевской частным образом.

Вейерштрасс был очень высокого мнения о математическом даровании своей ученицы. «Что же вообще касается уровня математического образования г-жи Ковалевской, — писал он геттингенскому математику Л. Фуксу в письме от 27 июня 1874 г., — то я могу с уверенностью сказать, что у меня было очень мало учеников, которые могли бы сравниться с ней в том, что касается ее способностей, суждений, прилежания и любви к науке»^{214}.

Ковалевская становится любимой ученицей Вейерштрасса. Он не только повторяет ей одной лекции, читаемые им в университете, но знакомит ее также со своими неопубликованными работами и обсуждает животрепещущие научные проблемы.

В 1874 г. Геттингенский университет заочно присуждает С.В. Ковалевской ученую степень доктора философии. В качестве докторской диссертации Ковалевская представила три работы, из которых особенно замечательна работа «К теории уравнений в частных производных». Здесь была доказана классическая теорема существования голоморфного решения системы дифференциальных уравнений в частных производных нормального вида. В современных курсах математического анализа эта теорема называется ее именем.

В 1874 г. С.В. Ковалевская возвратилась в Россию. Начался самый тяжелый период ее жизни. Ковалевская, уже признанный за границей математик, хотела приложить свои знания на родине, но в царской России женщина не могла получить кафедру в университете.

В конце 1879 г. П.Л. Чебышев предложил Ковалевской сделать сообщение о ее математических работах на VI съезде русских естествоиспытателей в Петербурге. В том же году Ковалевские переехали в Москву. Софья Васильевна решила сдать в Московском университете магистерские экзамены, но не была к ним допущена.

В 1881 г. Ковалевская снова у Вейерштрасса, полная творческого энтузиазма и страстного желания подготовить как можно больше математических работ. В течение двух лет она занимается проблемой света в кристаллах.

В августе 1883 г. Ковалевская делает доклад на VII съезде русских естествоиспытателей о преломлении света в кристаллах. На этом съезде она познакомилась с Н.Е. Жуковским.

В ноябре 1883 г. профессор Стокгольмского университета выдающийся математик Г. Миттаг-Леффлер (1846—1927) предложил Софье Васильевне место доцента. Она согласилась и переехала в Стокгольм. В 1884 г. Ковалевская стала профессором в том же университете. За восемь лет своей работы в Стокгольме Софья Васильевна прочитала двенадцать курсов по различным разделам математики и механики. В Швеции она пользовалась большой популярностью не только как выдающийся математик, но и как незаурядная писательница.

В 1888 г. С.В. Ковалевская написала свою знаменитую работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки». Выше уже говорилось об истории этой задачи. Еще в 1758 г. Эйлер рассмотрел случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки (полюса), когда центр тяжести совпадает с полюсом, а все силы сводятся к равнодействующей, проходящей через эту неподвижную точку. Л. Пуансо (1777—1859) в 1834 г. дал геометрическую интерпретацию этого случая. В 1788 г. Лагранж (и независимо от него в 1815 г. Пуассон) рассмотрел случай, когда тело имеет ось симметрии, проходящую через неподвижную точку, и движется под действием только силы тяжести, точка приложения которой лежит на оси симметрии и не совпадает с полюсом. Обе задачи сводятся в общем случае к квадратурам, и решения выражаются через эллиптические функции. Все вычисления были выполнены до конца И.И. Сомовым в 1851 г.

После исследований Эйлера, Лагранжа и Пуассона проблема движения тела вокруг неподвижной точки длительное время не получала дальнейшего развития. Ввиду важности этой проблемы французская Академия наук назначила премии за какое-либо существенное продвижение в исследовании задачи. Два проведенных конкурса не дали результатов. В 1888 г. конкурс был объявлен в третий раз. Из пятнадцати представленных работ получила премию работа С.В. Ковалевской, имевшая девиз: «Говори, что знаешь; делай, что обязан; будь, чему быть». Конкурсная комиссия, в состав которой входили крупнейшие ученые, увеличила премию с 3000 до 5000 франков, так как, по заключению комиссии, работа Ковалевской является «замечательным трудом, который содержит открытие нового случая …автор не удовольствовался прибавлением результата к тем решениям, какие перешли к нам по этому предмету от Эйлера и Лагранжа, а сделал из своего открытия углубленное исследование с применением всех возможностей современной теории функций»^{215}.