Ляпунов поставил вопрос в общей форме и, основываясь на положении Лагранжа о минимуме потенциала, дал строгое решение задачи.

В магистерской диссертации «Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости» (1884) Ляпунов впервые дал точное определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы, не может быть перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее Ляпунов установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым величины.

В 1901 г. Ляпунов, преодолев огромные математические трудности и разработав ряд новых аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости взаимно притягиваются по закону Ньютона.

«Даже с внешней стороны серия мемуаров и отдельно изданных книг [Ляпунова] по вопросу о фигурах равновесия вращающейся жидкости поражает своей грандиозностью», — отмечал Стеклов^{225}.

Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований на плотность жидкости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, существует фигура равновесия вращающейся массы неоднородной жидкости, находящейся в поле своего собственного тяготения.

Работы Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912).

Дж. Дарвин исследовал вопрос об устойчивости форм равновесия вращающейся жидкости, которым А. Пуанкаре (1854—1912) дал название грушевидных (для случая вязкой жидкости). По формулам Пуанкаре, которыми пользовался английский ученый, устойчивость или неустойчивость зависит от знака некоторой величины А.

Пользуясь методом приближенных вычислений, Дарвин после весьма сложных расчетов нашел А < 0, откуда следовало, что эти формы устойчивы. На этом Дж. Дарвин построил свою космогоническую гипотезу развития двойных звезд.

Однако грушевидные фигуры равновесия получаются как частный случай из бесчисленного множества других фигур равновесия, строго выведенных Ляпуновым, причем для А получается точное выражение в виде алгебраической функции двух аргументов. Это позволило Ляпунову в результате довольно сложных вычислений, проверенных несколькими способами, показать, что А > 0, т. е. грушевидные формы неустойчивы. Иными словами, воспользовавшись без достаточной математической осторожности приближенными формулами, Дж. Дарвин получил ошибочный результат.

Об этом разногласии Ляпунов писал в работе «Об одной задаче Чебышева» (1905) и в серии мемуаров «О фигурах равновесия вращающейся и однородной жидкой массы, мало отличных от эллипсоидов», печатавшейся в «Записках Академии наук» в 1906—1914 гг. В третьей части этой работы, вышедшей в 1912 г., он подробно изложил выводы своих точных формул и все вычисления.

Пуанкаре утверждал в 1911 г., что «грушевидная форма, может быть, устойчива, но нет уверенности, что это действительно так». Дж. Дарвин считал эту фигуру устойчивой; Ляпунов же пришел к противоположному результату. Чтобы окончательно доказать правильность своей точки зрения, Ляпунов опубликовал ряд фундаментальных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая между А.М. Ляпуновым и Дж. Дарвином полемика закончилась полной победой русского ученого. Впрочем, на Западе отдельные ученые продолжали сомневаться, на чьей стороне истина. Только в 1917 г., после опубликования работы Дж. Джинса (1877—1946), зарубежные ученые окончательно признали полную правоту Ляпунова. Джине обнаружил ошибку в вычислениях Дж. Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур.

Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.

Важнейшим результатом развития механико-математической мысли в России в конце XIX и в начале XX в. было появление классических работ по гидродинамике и гидравлике, принадлежащих Н.Е. Жуковскому.

Николай Егорович Жуковский (1847—1921), сын инженера, окончил физико-математический факультет Московского университета в 1868 г. С 1872 г. он преподавал в Московском техническом училище сначала математику, а затем — с 1874 по 1919 г. — механику. В 1886 г. Жуковский возглавил кафедру механики в Московском университете и в течение многих лет руководил Московским математическим обществам, с 1903 г. как его вице-президент и с 1905 г. — как президент.

Преподавательская работа в двух крупнейших учебных заведениях России отражала в некоторой мере основное направление научной деятельности Жуковского, его стремление увязать развитие научных и технических идей и на основе общих теоретических построений получать решения задач, выдвигаемых практикой.

Жуковского особенно привлекал своей наглядностью геометрический метод изложения механики. В своей магистерской диссертации «Кинематика жидкого тела» (1876) он наряду с аналитическим методом широко использует геометрический метод исследования, что дало ему возможность представить ясную картину законов движения частицы жидкости в потоке. Эта работа открыла ряд его исследований в области гидродинамики.

Уже в первые годы научной деятельности Н.Е. Жуковский исследует широкий круг вопросов в области общей механики, механики твердого тела, гидродинамики, астрономии. Он изучает вопрос об ударе твердых тел (1878—1885), о гироскопических приборах и маятниках (1881—1895), дает геометрическую интерпретацию общего случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки (1892). Особое место среди его работ по общей механике занимает докторская диссертация «О прочности движения», которую Жуковский защитил в 1882 г. В этом исследовании, посвященном одной из кардинальных проблем механики, Жуковский впервые ввел понятие о мере устойчивости движения, разработал метод оценки устойчивости движения.

В этом разделе мы рассмотрим работы Жуковского в области гидродинамики и гидравлики. В 1885 г. он опубликовал капитальный труд «О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью». Во введении он отмечает, что в первой и второй части работы рассмотрена общая теория движения тела и заключенных в нем твердых и жидких масс при условии отсутствия трения и в предположении, что скорости жидкостей имеют потенциал. Жуковский указывал, что в этом случае поступательное движение твердого тела с полостями, наполненными жидкостями, не будет отличаться от движения сплошного твердого тела, так как оно не вызывает движения частиц относительно тела. Вращательное же движение тела вызывает и полностью определяет относительное движение жидкости в полостях. В этой работе, получившей в Московском университете премию имени Брашмана, проявились основные черты научного творчества Жуковского.

В 1887 г. были изданы лекции Жуковского по гидродинамике, которые он читал в Московском университете. Во введении к лекциям он отметил, что гидродинамика является одной из блестящих глав механики, дал анализ ее развития, начиная с работ Даниила Бернулли, Даламбера, Эйлера.