∫
(𝑑
B
(ν)
)e
-∫𝑑4xB(B(ν))
.
(45.10)
Здесь можно опустить функцию δ(θ-θ'), которая отражает лишь тот факт, что физические миры, соответствующие различным значениям параметра θ, не связаны друг с другом. Кроме того, интегрирование по полям B в формуле (45.10) можно распространить на все полевые конфигурации, введя множитель
δ
⎡
⎣
ν-(g²/32π²)
∫
𝑑
4
x
∑
GG
̃
⎤
⎦
;
но тогда суммирование по индексу ν выполняется тривиально, и мы получаем
Z=N
∫
(𝑑
B
)e
-∫𝑑4xℒθ
(45.11а)
ℒ
θ
=-
1
4
∑
GG
+
ig²θ
32π²
∑
GG
̃
.
(45.11б)
Наконец, можно вернуться в пространство Минковского и сделать заключение, что из существования инстантонов следует, что истинный лагранжиан квантовой хромодинамики имеет вид
ℒ
θ
=-
1
4
∑
a
G
μν
a
G
aμν
-
θg²
32π²
∑
a
G
μν
a
G
̃
aμν
,
(45.12)
подтверждая, таким образом, необходимость введения в общем случае члена ℒ1θ (вспомним рассмотрение в начале § 38).
Можно задаться вопросом, в какой мере явления, рассмотренные в настоящем параграфе, изменяют результаты, полученные в параграфах книги, предшествующих § 37. Во-первых, ограничения, полученные для параметра θ (§ 38), требуют, чтобы его значение было настолько малым, что член лагранжиана ℒ1θ сам по себе практически не оказывает влияния. Во-вторых, инстантонное решение и связанные с ним явления представляют собой дальнодействующие эффекты; полевые конфигурации, достаточно быстро убывающие при x→∞, обладают нулевым топологическим зарядом QK=0. До сих пор мы обсуждали лишь эффекты, связанные с малыми расстояниями (для распада π0→2γ, глубоконеупругого рассеяния и т.д.); возможно, что режим теории возмущений по-прежнему применим и здесь. В этом можно убедиться, рассмотрев амплитуду туннелирования, обусловленного одноинстантонной полевой конфигурацией:
⟨0|±1⟩≈(constant)exp
⎧
⎩
-
2π
αg
⎫
⎭
.
После проведения процедуры перенормировок константу связи αg следует заменить бегущей константой связи, так что с точностью до логарифмических поправок выражение для амплитуды перехода принимает вид
⟨0|±1⟩≈
⎧
⎪
⎩
Λ²
Q²
⎫(33-2nƒ)/3
⎪
⎭
.
(45.13)
Эта формула показывает, что при больших передаваемых импульсах Q² туннельные эффекты пренебрежимо малы, и состояние |0⟩ можно рассматривать как состояние истинного вакуума; при этом ошибка, вносимая выражением (45.13), оказывается много меньше, чем, например, эффекты от операторов твиста 4 или 6. В самом деле, оценки [31] показывают, что инстантонные поправки к процессам е+е—-аннигиляции или глубоконеупругого рассеяния полностью пренебрежимы при Q²≥1 ГэВ2. Таким образом, в случаях, когда инстантонные эффекты важны, вычисления в рамках теории возмущений неприменимы, а в случаях, когда можно использовать теорию возмущений, эффекты, обусловленные существованием инстантонов, оказываются ненаблюдаемыми. С этой точки зрения инстантоны похожи на мифическое животное — василиска, увидев которого, как гласит предание, человек умирает.
§ 46. Вопросы, не рассмотренные в книге
1. КХД на решетке
В принципе формализм интегралов по траекториям, по-видимому, осуществляет мечту теоретиков: сводит квантовую теорию поля к квадратурам. Кажется, что достаточно перейти от непрерывного пространства-времени к дискретной решетке с некоторым расстоянием δ между соседними узлами и размером N и проинтегрировать определенный на этой решетке производящий функционал. На практике ситуация сложнее. Явно можно выполнить только гауссово интегрирование или интегрирование по фермионным полям, поэтому приходится обращаться к численным методам. Возможно, это и объясняет, почему после работы Вильсона [269], опубликованной в 1975 г., и до последнего времени почти не было получено новых результатов.
Однако за последние два года ситуация резко изменилась. Не только получено подтверждение существования явления конфайнмента, но в результате прогресса, обусловленного введением на решетку фермионов, были вычислены с хорошей точностью (~30 %) различные фундаментальные величины (включая вакуумные средние ⟨G²⟩, ⟨qq⟩ и, в частности, значения mρ, mp, ƒπ). К сожалению, мы не можем подробно обсудить это направление в теории поля и, таким образом, опустим все волнующие результаты, достигнутые на этом пути. Заинтересованному читателю следует обратиться к работам [79, 164, 188, 197], где имеются ссылки на дальнейшую литературу.
2. 1/N-разложение
В квантовой хромодинамике число цветов кварков равно трем, но теория упрощается, если число цветов N устремить к бесконечности [250, 251]. К счастью, в этом пределе основные свойства теории сохраняются, а поправки O(1/N) малы. Основная проблема состоит в том, что никто не знает, как вычислить член даже нулевого порядка теории возмущений. Однако это не означает бесполезности данного подхода; он позволяет установить связь с так называемым топологическим разложением в адронной физике [68, 224], проливает некоторый свет на проблему U(1) и, возможно, может иметь отношение к проблеме конфайнмента. Можно также использовать 1/N-разложение для получения качественных оценок различных эффектов. Например, ожидается, что масса нуклона (скажем протона) равна NΛ, поэтому эффекты, связанные с массой мишени, имеют величину O(N²Λ²), в то время как эффекты, вызванные операторами высших твистов (твиста 4), имеют величину O(NΛ²). Следовательно, в ведущем порядке по 1/N последними поправками по сравнению с поправками на массу мишени можно пренебречь. Аналогично на качественном уровне можно понять вырождение по массам ρ- и ω-мезонов или отсутствие связанных состояний в спектре ππ- системы. Обзор этой проблемы и ссылки на литературу читатель найдет в работах [274, 275].
3. Модели мешков
Можно почти с уверенностью говорить, что в настоящее время большинство физиков рассматривают модель мешков как некоторое удобное при решении частных задач приближение к квантовой хромодинамике.
Идея модели мешков состоит в следующем: если кварки (и глюоны) удерживаются на некотором среднем расстоянии δ, то можно имитировать действие удерживающих сил, налагая граничные условия, заключающиеся в том, что кварковые q(x) и глюонные B(x) поля тождественно обращаются в нуль за пределами сферы радиуса δ. Остальные эффекты КХД можно рассматривать по теории возмущений.
Модель мешков хорошо зарекомендовала себя в различных феноменологических приложениях: не только при вычислении статических величин (масс и магнитных моментов различных адронов), но и при получении абсолютной нормировки структурных функций ƒ(x,Q²0) [177]. Описание так называемой модели мешка MIT ссылки на дальнейшую литературу заинтересованный читатель найдет в обзоре [167].
