Отсюда возникают правила счета [52], согласно которым, например, для нуклонного формфактора получаем знаменитое дипольное поведение
F
N
≈
⎡
⎢
⎣
αs(-t)
-t
⎤2
⎥
⎦
,
а для дейтона формфактор определяется формулой
F
d
≈
⎡
⎢
⎣
αs(-t)
-t
⎤5
⎥
⎦
,
которая совпадает с экспериментально полученными результатами. Сечение рассеяния на заданный угол имеет вид
𝑑σ(A+B→C+D)
𝑑t
⎥
⎥
⎥θ fixed
≈
α
2
s
(t)
-t
F
A
(t)F
B
(t)F
C
(t)F
D
(t)ƒ(θ) .
Дальнейшие подробности и ссылки на литературу можно найти в работе [54]. Многие из этих результатов сформулированы с большей степенью строгости, исходя из ренормгруппового анализа [103] (см. также обзор [101] и цитируемую там литературу).
Глава IV. МАССЫ КВАРКОВ, ЧАСТИЧНОЕ СОХРАНЕНИЕ АКСИАЛЬНОГО ТОКА, КИРАЛЬНАЯ ДИНАМИКА И ВАКУУМ КХД
§ 28. Тяжелые и легкие кварки; теорема Симанзика — Аппепквиста — Каррадзоне
Схема перенормировок MS не зависит от масс кварков; следовательно, при вычислении таких величин, как ренорм групповая бета-функция βn или аномальная размерность γ(n), нужно учитывать кварки всех ароматов. Для простоты сосредоточимся на β-функции и будем проводить выкладки в аксиальной калибровке, так что всю зависимость от квадрата переданного 4-импульса Q² можно получить, рассмотрев только глюонный пропагатор. Кроме того, упростим обсуждение, введя в рассмотрение кварки только двух ароматов, один из которых безмассовый m̂l=0, а другой тяжелый m̂h≫Λ. Тогда в схеме перенормировок MS для бегущей константы связи получаем
α
s
(Q²,Λ²)
=
12π
(33-2nƒ) log Q²/Λ²
{1-…} ,
(28.1)
где nƒ=2. Естественно предположить, что использование значения nƒ=2 приводит к правильному выражению для бегущей константы связи αs при Q ≫ mh , но существует область значений переданного импульса mh ≫ Q ≫ Λ для которой лучше использовать значение nƒ=1 в формуле (28.1). Это становится очевидным, если взять массу тяжелого кварка mh экстремально большой, например равной 1 г. Ясно, что физика микромира едва ли может зависеть от того, существуют или нет столь массивные частицы.
Это утверждение составляет основное содержание теоремы, доказанной Симанзиком [240] и вновь открытой Аппелквистом и Каррадзоне [17]41в), согласно которой в случае Q≪mh существованием таких тяжелых кварков можно пренебречь с точностью до членов порядка Q²/m²h . Формула (28.1) в приведенном выше виде справедлива только в случае Q²≪m², где m- любая подходящая масса, в частности масса тяжелого кварка mh . Если мы хотим сохранить функциональную форму (28.1), необходимо допустить иную зависимость от переменной Q², более сложную, чем просто логарифмическая.
41в) В действительности этот результат, по существу, содержался уже в работе [182]. Обсуждение этой теоремы с использованием функциональных методов см. в работе [262].
Так как указанная проблема возникает в результате пренебрежения массами кварков, мы должны вновь вывести формулу (28.1), но с учетом масс кварков. Напоминаем, что бегущая константа связи определялась выражением αs=g2/4π, где g представляет собой решение уравнений (12.6):
𝑑g
𝑑 log Q/ν
=
g
β(
g
) ,
g
⎥
⎥Q=ν
=g(ν) ,
(28.2 а)
где
ν𝑑
𝑑ν
g(ν)=g(ν)β(g(ν)) , β=-Z
-1
g
ν𝑑
𝑑ν
Z
g
.
(28.2 б)
Рассмотрим поведение поперечной части глюонного пропагатора, которую мы обозначим так же, как в выражении (6.9). Введя обозначение Q/ν=λ, из уравнений (12.1) и (12.7) получаем
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²)exp
⎧
⎨
⎩
-
∫
log λ
0
𝑑 log λ'γ
D
[
g
(λ')]
⎫
⎬
⎭
.
(28.3)
В используемой нами физической калибровке (см. (9.18)) аномальная размерность глюонного пропагатора равна γD=2β0g²/16π², а, следовательно, поперечная часть глюонного пропагатора определяется выражением
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
2
Q²/ν²
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²).
(28.4)
Рассмотрев пропагатор в точке p=m, получаем следующий результат42):
42) Здесь и ниже из выражения для пропагатора исключен общий множитель 1/q2 . Прим. перев.
D
tr
(ν²;
g
(λ),
m
(λ);ν²)
=
K
ν
+
2αs(Q²)TF
π
×
∫
1
0
𝑑x x(1-x)log
m²+x(1-x)ν²
ν²
,
где Kν - константа. Сначала выберем ν=Λ; тогда
D
tr
(q²;g(ν),m(ν);ν²)
=
2
log Q²/Λ²
⎧
⎨
⎩
K+
2αs(Q²)TF
π
×
∫
1
0
𝑑x x(1-x)log
⎡
⎢
⎣
x(1-x)+
m²(Q²)
Λ²
⎤
⎥
⎦
⎫
⎬
⎭
.
(28.5)
Если m≫Λ, то справедливо приближенное равенство
D
tr
q²;g(ν),m(ν);ν²)
≈
⎧
⎨
⎩
K+
αs(Q²)TF
π
log
m²(Q²)
Λ²
⎫
⎬
⎭
2
log Q²/Λ²
.
(28.6)
Если m²≫Q², то поправки к константе K в формуле (28.6) велики, и такое приближение становится малопригодным. Этого и следовало ожидать: схема перенормировок MS так же, как и любая другая не зависящая от масс перенормировочная схема (подобная схеме, предложенной в работе [258]), с неизбежностью разрушает сходимость в случае, если существует масса, превышающая характерный масштаб импульсов. Решение этой проблемы заключается в использовании числа кварковых ароматов nƒ зависящего от масштаба импульсов, например 42а)
