±
(t)θ
a
⎫
⎬
⎭
образует так называемую группу киральных преобразований, генерируемых токами (29.12). В рассматриваемом случае кварков трех ароматов n=3, мы приходим к группе киральных преобразований SU+F(3)×SU-F(3). Ее генераторы можно выразить, исходя из набора векторных и аксиальных токов43) Vμll' и Aμll' , введенных в § 10. Важной подгруппой группы SU+F(3)×SU-F(3) является генерируемая векторным током подгруппа, представляющая собой просто группу аромата SUF(3), введенную Гелл-Манном и Нееманом.
43) Не все диагональные элементы принадлежат группе SUF(3)×SUF(3), но они принадлежат группе UF(3)×UF(3).
Точность соблюдения симметрии связана с независимостью от времени зарядов L± , которые в свою очередь связаны с дивергенциями токов. Кроме диагональных аксиальных токов, эти дивергенции пропорциональны разностям кварковых масс ml-ml' для векторных токов и суммам кварковых масс ml+ml' для аксиальных токов (см. (10.5)). Таким образом, можно заключить, что группа симметрии SUF(3) достаточно точна до тех пор, пока выполнено неравенство |ml-ml'|²≪Λ², а группа киральной симметрии SU+F(3)×SU-F(3) до тех пор, пока выполнено условие m²l≪Λ². По-видимому, разность масс имеет тот же порядок величины, что и сами массы, поэтому ожидается, что киральная симметрия выполняется почти с той же степенью точности, что и симметрия по ароматам. Кажется, это действительно так44).
44) Киральная симметрия и киральная динамика представляют собой предмет специального изучения. Здесь мы касаемся только тех аспектов, которые имеют отношение к КХД. При этом многие важные применения опускаются. Заинтересованный читатель может обратиться к работам [213, 228] и цитируемой там литературе.
§ 30. Симметрии Вигнера - Вейля и Намбу - Голдстоуна
Из того, что киральная симметрия SU(3) и симметрия по ароматам кварков SUF(3) обладают одинаковой степенью точности, не следует, что эти симметрии реализуются одинаково. В действительности, как будет показано, существуют веские теоретические и экспериментальные причины, обуславливающие значительную разницу между ними.
Начнем с введения зарядов, обладающих определенной четностью:
Q
a
=L
a
+
+L
a
-
, Q
a
5
=L
a
+
-L
a
-
.
(30.1)
Одновременные коммутационные соотношения для них имеют вид
[Q
a
(t),Q
b
(t)]
=
2i
∑
ƒ
abc
Q
c
(t) ,
[Q
b
5
(t),Q
b
5
(t)]
=
2i
∑
ƒ
abc
Q
b
5
(t) ,
[Q
a
(t),Q
b
5
(t)]
=
2i
∑
ƒ
abc
Q
c
(t) .
(30.2)
Набор операторов Qa образует группу SUF(3). В пределе ml→0 все генераторы Q и Q5 не зависят от времени t и коммутируют с лагранжианом:
[Q
a
,ℒ]=[Q
a
5
,ℒ]=0 .
(30.3)
Однако различие между ними состоит в том, как эти операторы действуют на вакуумное состояние. В общем случае, если имеется совокупность генераторов Lj преобразований симметрии лагранжиана, мы имеем два возможных результата их действия на вакуумное состояние:
L
j
|0⟩=0
(30.4)
и
L
j
|0⟩≠0
(30.5)
Первый случай соответствует реализации симметрии Витера — Вейля, а второй — реализации симметрии Намбу — Голдсмоуна. Конечно, в общем случае оба эти типа реализации симметрии могут присутствовать одновременно; часть генераторов Li, i=1,…,r , удовлетворяет равенству (30.4), а остальные генераторы Lk, k=r+1,…,n , удовлетворяют равенству (30.5). Очевидно, что если операторы L1 и L2 удовлетворяют равенству (30.4), то этому же равенству удовлетворяет и их коммутатор. Следовательно, совокупность преобразований симметрий Вигнера - Вейля представляет собой подгруппу.
При рассмотрении данного круга вопросов важны две теоремы. Первая из них, установленная Коулменом [72], гласит, что "инвариантность вакуума означает инвариантность мира", или, более строго, что физические состояния (включая и связанные состояния) инвариантны по отношению к преобразованиям из группы симметрии Вигнера — Вейля. Если предположить, что киральная симметрия принадлежит к симметриям Вигнера — Вейля, то отсюда можно заключить, что массы мезонов должны быть вырождены с точностью до поправок порядка m²/mh , где mh - адронные массы. Это справедливо для таких мезонов, как ω, ρ, K*, φ или ƒ', A2 , ƒ0; но если рассмотреть дублеты по четности, то вырождения, очевидно, нет. Это обстоятельство убедительно свидетельствует о том, что группа симметрии SUF(3) принадлежит к симметрии Вигнера - Вейля, а киральная группа симметрии SU+F×SU-F содержит генераторы типа Намбу - Голдстоуна. Поэтому мы примем, что генераторы Q и Qs удовлетворяют соотношениям
Q
a
(t)|0⟩=0 , Q
a
5
(t)|0⟩≠0 .
(30.6)
Второй важной теоремой является теорема Голдстоуна [148]. Она утверждает, что для каждого генератора, результат действия которого на вакуумное состояние не равен нулю, должен существовать безмассовый бозон, обладающий теми же квантовыми числами, что и соответствующий ему генератор. Таким образом, малость масс мезонов π и K44а) мы "объясняем" тем, что в пределе mu, md, ms→0 мы получили бы mπ→0 и mK→0. Действительно, несколько ниже будет показано, что46)
44а) При рассмотрении частиц, имеющих равное нулю квантовое число аромата, возникнет своя проблема (так называемая (U(1)-проблема). мы обсудим ее несколько ниже.
46) Правые части соотношений (30.7) должны быть умножены на константу размерности массы. — Прим. перев.
m
2
π
≈
