Метод Алтарелли — Паризи позволяет представить структурные функции для различных процессов в виде сумм "плотностей распределения кварков" q(x,Q²), описывающих распределение кварков аромата q. Для упрощения последующих ссылок ниже приводятся выражения для структурных функций некоторых наиболее важных процессов. Обозначим через I изоскалярную мишень, а через p - протонную мишень. Тогда имеем
ƒ
F
2ep
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
2
9
x(u+
u
+d+
d
+s+
s
),
n
ƒ
=3
5
18
x(u+
u
+d+
d
+s+
s
+c+
c
),
n
ƒ
=4
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
ƒ
NS
2ep
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
6
x
⎛
⎜
⎝
2
3
u-
1
3
d-
1
3
s+
2
3
u
-
1
3
d
1
3
s
⎞
⎟
⎠
, n
ƒ
=3
1
6
x(u-d-s+
u
-
d
-
s
+c+
c
),
n
ƒ
=4
(22.14 а)
ƒ
F
2eI
=ƒ
F
2ep
; ƒ
NS
2eI
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1
18
x(u+
u
+d+
d
-2s-2
s
), n
ƒ
=3
1
6
x(c-s+
c
-
s
), n
ƒ
=4.
(22.14 б)
ƒ
NS
2νI
=0, ƒ
2νI
=ƒ
F
2νI
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
9
2
ƒ
F
2ep
, n
ƒ
=3
18
5
ƒ
F
2ep
, n
ƒ
=4.
(22.14 в)
ƒ
F
3νI
=0, ƒ
3νI
=ƒ
NS
3νI
=
⎧
⎨
⎩
x(u-
u
+d-
d
+s-
s
), n
ƒ
=3
x(u-
u
+d-
d
+s-
s
+c-
c
), n
ƒ
=4.
(22.14 г)
Некоторые из этих результатов уже были получены выше. Кроме того, можно ввести понятия распределения "валентных" кварков qv (определив его как избыток числа кварков по сравнению с числом антикварков; для протона ∫10𝑑xuv=2, ∫10𝑑xdv=1 и "моря" остальных кварков и т.д. Подробное изложение этого круга вопросов можно найти в обзорах [11, 55].
§ 23. Общие свойства структурных функций а КХД
1. Правила сумм
Как уже неоднократно утверждалось, матричные элементы операторов An вообще говоря, вычислить не удается. Но в некоторых случаях соответствующие составные операторы оказываются связанными с генераторами той или иной группы симметрии. Тогда они представляют собой физически наблюдаемые величины, и их матричные элементы, по крайней мере в принципе, можно измерить. Как обсуждалось в § 13, такие операторы не требуют проведения перенормировок, а их аномальные размерности равны нулю. Следовательно, в пределе Q²→∞ матричные элементы оператора An можно вычислить в модели свободных кварков — партонов38).
38) В общем случае необходимо перейти к пределу Q¹→2 для устранения имеющейся в вильсоновских коэффициентах остаточной зависимости от взаимодействия кваркое и глюонов.
Такими свойствами обладают несинглетные операторы при n=1 и синглетные операторы при n=2. Других операторов с указанными свойствами не существует, так как аномальные размерности γNS (и собственные значения матрицу) обращаются в нуль только для приведенных значений n. Поэтому, по крайней мере в принципе, можно вычислить абсолютные значения (а не только зависимость от переменной Q²) интегралов
∫
1
0
𝑑x x
-1
ƒ
NS
(x,Q²),
∫
1
0
𝑑x
⃗
ƒ(x,Q²).
(23.1)
Это оказывается практически осуществимым только в некоторых довольно редких случаях, когда интегралы (23.1) удается связать с наблюдаемыми величинами, о которых имеются экспериментальные данные. При этом возникают правила сумм, многие из которых уже были открыты с помощью партонной модели. Эти правила сумм в рамках квантовой хромодинамики получили статус точных утверждений. Здесь мы рассмотрим некоторые типичные примеры.
Начнем с рассмотрения несинглетного случая. Для структурных функций ƒNS2,3 соответствующие операторы при n=1 представляют собой комбинации величин
N
α±
NSμ
=½i:
q
λ
α
γ
ν
(1±γ
5
)q:,
которые в действительности генерируют преобразования киральной симметрии (§ 10). Как и ожидалось, аномальные размерности этих операторов равны нулю: γ(0)NS(1)=γ(1)-NS(0). Для процессов электророждения с участием кварков трех ароматов u, d и s (в случае кварков четырех ароматов разбиение несколько изменяется), используя сокращенные обозначения, получаем
iTJ
μ
em
(z)J
ν
em
(0)
⎪
⎪
NS
pμpν;n=1
=
z²→0
1
3
C
1
2NS
(z²)J
em
(0) ,
или точнее
1
i
A
1
2NS
P
μ
=⟨p|J
μ
em
(0)|p⟩=2(2π)
-3
p
ν
Q
N
,
где QN - заряд мишени в долях заряда электрона. Таким образом, учитывая поправки второго порядка теории возмущений, получаем
∫
1
0
𝑑x x
