a
,t
b
}=
∑
d
abc
t
c
+
1
3
δ
ab
.
Структурные константы группы ƒ полностью антисимметричны по всем индексам, а структурные константы dabc≡dabc полностью симметричны по всем индексам. Ниже приводятся все отличные от нуля значения структурных констант ƒ и d:
1=ƒ
123
=2ƒ
147
=2ƒ
246
=2ƒ
257
=2ƒ
345
-2ƒ
156
=-2ƒ
156
=-2ƒ
367
=
2
√3
ƒ
458
=
2
√3
ƒ
678
;
1
√3
=d
118
=d
228
=d
338
=-d
888
,
-1
2√3
=d
448
=d
558
=d
668
=d
778
,
1
2
=d
146
=d
157
=d
247
=d
256
=d
344
=d
355
=-d
366
=-d
377
.
Для произвольной группы SU(N) инварианты CA, CF и TF определяются формулами
δ
ab
C
A
=
Tr C
a
C
b
=
∑
cc'
ƒ
acc'
ƒ
bcc'
,
δ
ik
C
F
=
⎧
⎪
⎩
∑
a
t
a
t
a
⎫
⎪
⎭ik
=
∑
a,l
t
a
il
t
a
lk
,
δ
ab
T
F
=
Tr t
a
t
b
=
∑
k,i
t
a
ik
t
b
ki
.
При этом
C
A
=N, C
F
=
N²-1
2N
, T
F
=
1
2
.
В приложениях часто встречаются соотношение
Tr t
a
t
b
t
c
=
i
4
ƒ
abc
+
i
4
d
abc
,
а также инварианты
∑
abc
d
2
abc
=
40
3
,
∑
abc
ƒ
2
abc
=24 ,
∑
rka
ε
irk
t
a
jr
t
a
kl
=-
2
3
ε
ijl
.
Приложение Г. Фейнмановские правила диаграммной техники для КХД
Имеются следующие фейнмановские правила:
igγ
μ
t
a
kj
-gƒ
abc
[(p-q)
ν
g
λμ
+(q-k)
λ
+(k-p)
μ
g
νλ
]
-igƒ²
∑
e
{ƒ
abe
ƒ
cde
(g
λν
g
νσ
-g
λσ
g
μν
)
+
ƒ
ace
ƒ
bde
(g
λμ
g
νσ
-g
λσ
g
μν
)
+
ƒ
ade
ƒ
cbe
(g
λν
g
μσ
-g
λμ
g
σν
)}
-gƒ
acb
p
μ
i
p-mj+i0
δ
jk
i
-gμν+ξkμkν/(k²+i0)
k2+i0
δ
ab
(лоренцева калибровка)
i
-gμν+(nμkν+nνkμ)/n⋅k-n²(kμkν/n⋅k)
k2+i0
δ
ab
(аксиальная калибровка)
i
k²+i0
δ
ab
.
При вычислении диаграмм следует добавлять общий множитель (2π)4δ(Pi-Pƒ), описывающий сохранение полного 4-импульса, и коэффициент (— 1) на каждую замкнутую фермионную петлю или петлю ду́хов. Статистические множители таковы:
1
2!
для
1
3!
для
Каждое интегрирование по петле содержит комбинацию
ν
4-D
0
∫
𝑑
D
k/(2π)
D
≡
∫
𝑑
d
k̂ .
