N
ε
C
F
δ
ij
⎛
⎜
⎝
-2
n
∑
l=2
1
l
⎞
⎟
⎠
(
Δ
⋅p)
n-1
Δ
.
(20.9)
Диаграмма рис. 14, в приводит к ответу, совпадающему с результатом (20.9) для диаграммы рис. 14, б. Диаграмма рис. 14, г приводит к результатам, эквивалентным перенормировочному коэффициенту ZF . Чтобы вычислить тетерь аномальные размерности y γNS , необходимо добавить вклады от контрчленов, обеспечивающие конечность выражения ZnZ-1FN . Таким образом, используя значение перенормировочного множителя ZF , вычисленное в § 9, находим
Z
NS
n
=1+
g²Nε
16π²
C
F
⎧
⎨
⎩
4S
1
(1)-3-
2
n(n+1)
⎫
⎬
⎭
,
(20.10)
S
1
(n)=
n
∑
j=1
1
j
,
(20.11)
откуда получаем
γ
(0)
NS
(n)=
2C
F
⎧
⎨
⎩
4S
1
(1)-3-
2
n(n+1)
⎫
⎬
⎭
,
(20.12)
d(n)=
1
33-2nƒ
⎧
⎨
⎩
1
2n(n+1)
+
3
4
-S
1
(n)
⎫
⎬
⎭
.
(20.13)
Для синглетного случая аналогичным способом можно получить ответ, записываемый в матричном виде:
D
n
=
16
33-2nƒ
×
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
33-2nƒ
16
d(n)
3nƒ
8
⋅
n²+n+2
n(n+1)(n+2)
n²+n+2
2n(n²-1)
33-2nƒ
16
+
9
4
⎧
⎨
⎩
1
n(n-1)
+
1
(n+1)(n+2)
-S
1
(n)
⎫
⎬
⎭
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
(20.14)
Выражения для величины S1(n) можно аналитически продолжить на случай комплексных значений переменной n . Согласно теореме Карлсона (см., например, [246]), существует единственное продолжение, для которого остаются справедливыми уравнения (19.19), (20,3), (20.6) и (20.7) для комплексных значений n. Оно имеет вид
S
1
(n)=n
∞
∑
k=1
1
k(k+n)
.
(20.15 а)
Отметим, что с определенным таким образом аналитическим продолжением на случай комплексных значений переменной n (которое совпадает g выражением (20.11) для целочисленных значений n) величину S1(n) можно представить в виде
S
1
(n)
=
ψ(n+1)+γ
E
,
ψ(z)
≡
d logΓ(z)
dz
.
(20.15 б)
В рассматриваемом порядке теории возмущений аналитические продолжения функции γ(0)(n) на область комплексных значений переменной n, начинающиеся с четных или нечетных значений n, совпадают. Поэтому никаких проблем, связанных с четностью или нечетностью структурных функций либо со справедливостью исходных уравнений при четных или нечетных значениях переменной n, не возникает.
§21. Уравнения КХД для моментов во втором порядке теории возмущений
В § 20 мы вывели уравнения КХД для моментов в ведущем порядке теории возмущений. Обратимся теперь к поправкам второго порядка.
Как видно из уравнений (20.2) и (20.4), для того чтобы вычислить поправки второго порядка, необходимо рассмотреть два различных эффекта33). Это, во-первых, эффект, связанный с учетом аномальных размерностей γ(1)NS(n) и γ(1)(n) втором порядке теории возмущений. Во-вторых, необходимо вычислить следующий член разложения вильсоновских коэффициентов:
33Конечно, помимо использования выражения для константы связи αs(Q²) во втором порядке теории возмущений (§ 14) и учета конечных частей диаграмм первого порядка.
C
n
NS
(1,α
s
(Q²))=C
n
NS
(1,0)
⎧
⎨
⎩
1+C
n(1)
NS
(1,0)
α(Q²)
4π
+…
⎫
⎬
⎭
.
(21.1)
Вычисление аномальных размерностей для несинглетных операторов NNS было выполнено в работе [125], а для синглетных - в работе [126]. Полученные результаты сформулированы в более простом аналитическом виде для несинглетных операторов в статье [150] и для синглетных — в статье [151]. Недавно они были проверены [84, 131], и лишь для коэффициента при аномальной размерности γ(1)VV(n) было найдено выражение, отличающееся от полученного ранее34). Пусть величины γ(1)±NS(n) относятся к четным (нечетным) структурным функциям. Тогда имеем
34) Результаты работы [131] недавно были проверены независимым образом.
γ
(1)±
NS
(n)
=
32
9
S
1
(n)
⎡
⎢
⎣
67+8
2n+1
n²(n+1)²
⎤
⎥
⎦
-64S
1
(n)S
2
(n)
-
32
9
[S
2
-S
±
²
(n/2)]
⎧
⎨
⎩
2S
1
(n)-
1
n(n+1)
⎫
⎬
⎭
-
128
9
S
̃
±
(n)+
32
3
S
2
(n)
⎡
⎢
⎣
3
n(n+1)
-7
⎤
⎥
⎦
16
9
S
±
³
⎛
⎜
⎝
