,
(14.6 а)
(Q2=-p2), где аномальная размерность кваркового поля записывается в виде
d
Fξ
=
3
2
⋅
(1-ξ)CF
11CA-4TFnƒ
=2
1-ξ
33-2nƒ
.
(14.6 б)
Таким образом, кварковый пропагатор SR в пределе больших импульсов с точностью до логарифмических поправок (log Q/Λ)-dFξ ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового поля. Отметим, что аномальная размерность кваркового поля dFξ, как и ожидалось, зависит от калибровочного параметра и равна нулю в калибровке Ландау, в которой кварковый пропагатор имеет каноническую размерность.
Глава III. ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ
§15. е+е- -аннигиляция в адроны
Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде
ℒ
QCD+em
=
∑
q
{
i
q
D
q-m
q
q
q
}
-
1
4
(D×B)
2
+
e
∑
q
Q
q
q
γ
μ
qA
μ
-
1
4
F
μν
F
μν
(15.1)
где Qq - заряд кварка q в единицах заряда протона e. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад ду́хов. Электромагнитный ток кварков равен
J
μ
=
∑
q
Q
q
:
q
γ
μ
q: .
Рассмотрим некоторое адронное состояние Γ. Сечение аннигиляции неполяризованных электрона e- и позитрона e+ в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса e+e-→Γ. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент
⟨Γ|S
QCD+em
|e
+
e
-
⟩
=⟨Γ|Τ exp i
∫
d
4
x
{
ℒ
int,QCD
(x)+ℒ
int,em
(x)
}
|e
+
e
-
⟩ .
Проводя вычисления в низшем порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия, получаем
⟨Γ|S
QCD+em
|e
+
e
-
⟩
=
-e2
2!
⟨Γ|
∫
d
4
x
1
d
4
x
2
ℒ
0
int,em
(x
1
)ℒ
0
int,em
(x
2
)
×
exp i
∫
d
4
xℒ
0
int,QCD
(x)|e
+
e
-
⟩ .
Рис. 10. Диаграммы, описывающие процесс е+е-→адроны.
Используя правила диаграммной техники Фейнмана для квантовой электродинамики и учитывая обозначения рис. 10, а, амплитуду интересующего нас процесса можно выразить в форме
F(e
+
e
-
→Γ)=
2πe2
q2
v
(p
1
,σ
1
)γ
μ
u(p
2
,σ
2
⟨Γ|J
μ
(0)|0⟩.
Суммируя по конечным адронным состояниям, для сечения e+e--аннигиляции в адроны получаем
σ
h
(s)
=
∑
Γ
σ(e
+
e
-
→Γ, s=(p
1
+p
2
)
2
)
=
2α2
s3
4π
2
l
μν
∑
Γ
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
Γ
⟨Γ|J
ν
(0)|0⟩⟨Γ|J
ν
(0)|0⟩*.
(15.2)
Если пренебречь массой электрона, то тензор lμν можно записать в виде
l
μν
=
1
4
∑
σ1,σ2
v
(p
1
,σ
1
)γ
μ
u(p
2
,σ
2
)
[
v
(p
1
,σ
1
)γ
μ
u(p
2
,σ
2
)]*
=
1
2
{q
μ
q
ν
-q
2
g
μν
-
(p
1
-p
2
)
μ
(p
1
-p
2
)
ν
}.
Из приведенных формул видно, что нетривиальная часть выражения для сечения е+е--аннигиляции в адроны связана с тензором
Δ
μν
=
∑
Γ
(2π)
4
δ(p
1
+p
2
-p
Γ
)
⟨0|J
μ
(0)|Γ⟩
⟨0|J
ν
(0)|Γ⟩.
Используя полноту адронных состояний, в силу которой справедливо соотношение ΣΓ|Γ⟩⟨Γ|=1, выражение для тензора Δμν можно переписать в виде
Δ
μν
=
∫
d
4
x e
iq⋅x
⟨[J
μ
