Таким образом, нам нужно определить φ из уравнения 𝑥=-(𝐴+𝑎)=𝐴(φ-𝑒φ). Для φ получается отрицательное значение φ1 и положительное значение φ2. На краю плоскости при 𝑥=-𝐴. φ=0. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен -𝑐𝑘φ1/4π, а на другой, 𝑐𝑘φ2/4π. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна 𝑐𝑘(φ2-φ1)/4π.
Если считать, что 𝑎 много больше 𝐴, то
φ
1
=
-
𝑎
𝐴
-1
+exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑎
𝐴
-1
+exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑎
𝐴
-1
+exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑎
𝐴
-1…
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
,
φ
2
=
ln
⎧
⎨
⎩
𝑎
𝐴
+1+ln
⎛
⎜
⎝
𝑎
𝐴
+1+…
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
.
Если пренебречь экспоненциальным членом в φ1, то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной её значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной 𝐴=𝑏/π с той же однородной поверхностной плотностью.
Полная ёмкость рассмотренной части плоскости равна
𝐶
=
𝑐
4π²
(φ
2
-φ
1
)
.
Полный заряд равен 𝐶𝑉 а притяжение к бесконечной плоскости 𝑦=0 под потенциалом ψ=0 равно
-
1
2
𝑉²
𝑑𝐶
𝑑𝑏
=
𝑉²
𝑎𝑐
8π³𝐴²
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1+
𝐴
𝑎
1+
𝐴
ln
𝑎
𝑎
𝐴
+
𝑒
-𝑎/𝐴
+…
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
=
=
𝑉²𝑐
8π𝑏²
⎧
⎨
⎩
𝑎+
𝑏
π
-
𝑏²
π²𝑎
ln
𝑎π
𝑏
+…
⎫
⎬
⎭
.
Эквипотенциальные и силовые линии приведены на рис. XII.
Пример VIII. Теория решётки из параллельных проволок. Рис.XIII
203. Во многих электрических приборах применяется проволочная решётка для предохранения некоторых частей прибора от электризации через индукцию. Мы знаем, что если проводник полностью окружён металлическим сосудом, находящимся под тем же потенциалом, что и проводник, то никакое заряженное тело вне сосуда не может навести на поверхности проводника никакого заряда. Однако проводник, полностью окружённый металлом, становится невидимым, и поэтому в некоторых случаях оставляют отверстие, закрываемое решёткой из тонких проволочек. Рассмотрим, как сказывается такая решётка на уменьшении эффекта электрической индукции. Мы примем, что такая решётка состоит из ряда параллельных проволок, расположенных в одной плоскости через равные интервалы. Диаметр проволок будем считать много меньше расстояния между ними, а расстояние от плоскости экрана до ближайших заряженных тел с одной стороны решётки и до защищаемого проводника с другой стороны будем считать существенно больше расстояния между соседними проволочками.
204. Потенциал на расстоянии 𝑟' от оси прямой проволоки бесконечной длины с зарядом λ на единицу длины равен
𝑉
=
-2λ ln 𝑟'+𝐶
.
(1)
Мы можем записать это выражение в полярных координатах относительно оси, находящейся на единичном расстоянии от проволочки. При этом мы должны положить
𝑟'²
=
1-2𝑟 cos θ+𝑟²
.
(2)
Если принять, что ось отсчёта также заряжена с линейной плотностью λ', то
𝑉
=
-λ ln(1-2𝑟 cos θ+𝑟²)
-2λ' ln 𝑟+𝐶
.
(3)
Если положить, что
𝑟
=
𝑒
(2π𝑦)/𝑎
,
θ
=
2π𝑥
𝑎
,
(4)
то, согласно теории сопряжённых функций, величина
𝑉
=
-λ ln(1-2𝑒
(2π𝑦)/𝑎
cos(2π𝑥)/𝑎+𝑒
(4π𝑦)/𝑎
)
-
-
2λ'ln 𝑒
(2π𝑦)/𝑎
+𝐶
(5)
(𝑥, 𝑦 - прямоугольные координаты) будет значением потенциала, обусловленного бесконечным рядом тонких проволочек, параллельных 𝑧, расположенных в плоскости 𝑥𝑧 и проходящих через точки оси 𝑥, для которых 𝑥 кратно 𝑎, и плоскостями, перпендикулярными оси 𝑦.
Каждая из этих проволочек заряжена с линейной плотностью λ.
Член с λ' указывает на электризацию, вызывающую постоянную силу 4πλ'/𝑎 в направлении 𝑦.
Форма эквипотенциальных поверхностей и силовых линий при λ'=0 дана на рис. XIII. Вблизи проволочек эквипотенциальные поверхности имеют почти цилиндрическую форму, так что мы можем считать решение приблизительно верным и в том случае, когда проволочки представляют собой цилиндры, диаметр которых конечен, но мал по сравнению, с расстоянием между ними.
Вдали от проволочек эквипотенциальные поверхности становятся всё ближе и ближе к плоскостям, параллельным плоскости решётки.
Если положить в уравнении 𝑦=𝑏1 где 𝑏1 много больше 𝑎, то приближённо
𝑉
1
=
-
4π𝑏1
𝑎
(λ+λ')
+
𝐶
.
(6)
Если далее положить 𝑦=-𝑏2, где 𝑏2 положительно и много больше 𝑎, то приближённо
𝑉
2
=
4π𝑏2
𝑎
λ'
+
𝐶
.
(7)
Если 𝑐 - радиус проволочек решётки, причём 𝑐 много меньше 𝑎, то потенциал самой решётки можно найти, приняв, что поверхность проволочки совпадает с эквипотенциальной поверхностью, пересекающей плоскость 𝑥𝑧 на расстоянии 𝑐 от оси 𝑧. Поэтому для нахождения потенциала решётки положим 𝑥=𝑐 и 𝑦=0, откуда
𝑉
=
-2 ln 2sin
π𝑐
𝑎
+
𝐶
.
(8)
205. Мы получили теперь выражения, описывающие электрическое состояние системы, состоящей из проволочной решётки с диаметром проволок, много меньшим расстояния между ними, и двух проводящих поверхностей по обе стороны от решётки, находящихся на расстояниях, много больших расстояния между проволочками.
Поверхностная плотность σ1 на первой плоскости находится из уравнения (6):
4πσ
1
=
𝑑𝑉1
𝑑𝑏1
=
-
4π
𝑎
(λ+λ')
,
