Две концентрические сферические поверхности
125. Если две концентрические сферические поверхности радиусов 𝑎 и 𝑏, причём 𝑏 больше 𝑎, поддерживаются соответственно под потенциалами 𝐴 и 𝐵, то, очевидно, потенциал 𝑉 является функцией расстояния 𝑟 от их центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает вид
𝑑²𝑉
𝑑𝑟²
+
2
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
0.
Его решение 𝑉=𝐶1+𝐶2𝑟-1, и из условия 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏 следует, что в пространстве между сферическими поверхностями
𝑉
=
𝐴𝑎-𝐵𝑏
𝑎-𝑏
+
𝐴-𝐵
𝑎-1-𝑏-1
𝑟
-1
,
𝑅
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝐴-𝐵
𝑎-1-𝑏-1
𝑟
-2
.
Если σ1 и σ2, - поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса 𝑎 и сферической полости радиуса 𝑏, то
σ
1
=
1
4π𝑎
𝐴-𝐵
𝑎-1-𝑏-1
,
σ
2
=
1
4π𝑏
𝐵-𝐴
𝑎-1-𝑏-1
.
Если 𝑒1 и 𝑒2 - полные электрические заряды этих поверхностей, то
𝑒
1
=
4π𝑎²σ
1
=
𝐴-𝐵
𝑎-1-𝑏-1
=
-𝑒
2
.
Следовательно, ёмкость сферы, окружённой сферической оболочкой, равна 𝑎𝑏/(𝑏-𝑎).
Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса 𝑐, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен 𝑒3=𝐵𝑐.
Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен
𝑒
1
=
𝑎𝑏
𝑏-𝑎
(𝐴-𝐵)
,
а на внешней оболочке
𝑒
2
+
𝑒
3
=
𝑎𝑏
𝑏-𝑎
(𝐵-𝐴)
+
𝐵𝑐
.
Положив 𝑏=∞, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая ёмкость такой сферы равна 𝑎 т.е. численно равна радиусу сферы.
Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно
𝑝
=
1
8π
𝑏²
𝑎²
(𝐴-𝐵)²
(𝑏-𝑎)²
.
Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна π𝑎²𝑝=𝐹 и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равным 𝑇 то 𝐹=2π𝑎𝑇.
Отсюда
𝐹
=
𝑏²
8
(𝐴-𝐵)²
(𝑏-𝑎)²
=
𝑒1²
8𝑎²
,
𝑇
=
𝑏²
16π𝑎
(𝐴-𝐵)²
(𝑏-𝑎)²
.
Если сферический мыльный пузырь наэлектризовать до потенциала 𝐴 то при радиусе 𝑎 его заряд будет 𝐴𝑎 а поверхностная плотность заряда будет σ=𝐴/(4π𝑎).
Результирующая напряжённость у внешней поверхности равна 4πσ а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2πσ, причём направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2πσ², т. е. на 𝐴²/(8π𝑎²).
Но можно показать, что если 𝑇0 натяжение в жидкой плёнке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержания пузыря от охлопывания, равно 2𝑇0/𝑎. Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то 𝐴²=16π𝑎𝑇0.
Две бесконечные коаксиальные цилиндрические поверхности
126. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен 𝑎 а радиус внутренней поверхности полого цилиндра, коаксиального первому, равен 𝑏. Пусть их потенциалы соответственно равны 𝐴 и 𝐵. Потенциал 𝑉 зависит в этом случае только от расстояния 𝑟 от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид
𝑑²𝑉
𝑑𝑟²
+
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑟
=
0.
откуда 𝑉=𝐶1+𝐶2 ln 𝑟.
Поскольку 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏, то
𝑉
=[
𝐴 ln(𝑏/𝑟)
+
𝐵 ln(𝑟/𝑏)
]/
ln(𝑏/𝑎)
.
Если σ1 и σ2 - поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то
4πσ
1
=
𝐴-𝐵
,
𝑎 ln
𝑏
𝑎
4πσ
2
=
𝐴-𝐵
,
𝑏 ln
𝑏
𝑎
Для зарядов 𝑒1 и 𝑒2 на участках обоих цилиндров между двумя сечениями перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние 𝑙 имеем
𝑒
1
=
2π𝑎𝑙σ
1
=
1
⋅
𝐴-𝐵
𝑙
=
-𝑒
2
.
2
ln
𝑏
𝑎
Следовательно, ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙/(2 ln(𝑏/𝑎)).
Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью 𝐾 то ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙𝐾/(2 ln (𝑏/𝑎)).
Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна 𝑙𝐾(𝐴-𝐵)²/(4 ln (𝑏/𝑎)).
127. Пусть два полых цилиндрических проводника 𝐴 и 𝐵 произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось 𝑥, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.
Пусть цилиндр 𝐶 длины 2𝑙 расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии 𝑥 от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр 𝐶 входит внутрь полых цилиндров.
Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным 𝐴 на отрицательной стороне равным 𝐵 и потенциал внутреннего цилиндра равным 𝐶, обозначим через α ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐴, а через β - ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐵.
Рис. 6
Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины 𝑥, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы ещё пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределён как на бесконечном цилиндре.
