Предельные формы
1. При β=0 поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, заключённой между двумя ветвями гиперболы, уравнение которой (24) написано выше.
2. При β=-𝐹(𝑘') поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦, находящейся вне фокального эллипса, уравнение которого
𝑥²
𝑎²
-
𝑦²
𝑐²-𝑏²
=
1.
(25)
Эллипсоиды
Для каждого заданного эллипсоида γ постоянно. Если два эллипсоида γ1 и γ2 поддерживаются при потенциалах 𝑉1 и 𝑉2 то для произвольной точки γ между ними
𝑉
=
γ1𝑉2-γ2𝑉1+γ(𝑉1-𝑉2)
γ1-γ2
.
(26)
Поверхностная плотность заряда в произвольной точке равна
σ
=
-
1
4π
𝑉1-𝑉2
γ1-γ2
𝑐𝑝2
𝑃3
,
(27)
где 𝑝2 - перпендикуляр из центра к касательной плоскости, а 𝑃2 - произведение полуосей.
Полный электрический заряд на каждой поверхности даётся соотношением
𝑄
2
=
𝑐
𝑉1-𝑉2
γ1-γ2
=
-
𝑄
1
(28)
и конечен.
При γ=𝐹(𝑘) поверхность эллипсоида уходит в бесконечность по всем направлениям.
Если положить 𝑉2=0, a γ2=𝐹(𝑘), мы получим для электрического заряда на эллипсоиде γ находящемся под потенциалом 𝑉 в безгранично простирающемся поле, выражение
𝑄
=
𝑐
𝑉
𝐹(𝑘)-γ
.
(29)
Предельная форма для эллипсоидов получается при γ=0 когда поверхность превращается в часть плоскости 𝑥𝑦 внутри фокального эллипса, уравнение которого (25) написано выше.
Поверхностная плотность заряда по обе стороны эллиптической пластинки с уравнением (25) и эксцентриситетом 𝑘 равна
σ
=
𝑉
⋅
1
⋅
1
,
4π√
𝑐²-𝑏²
𝐹(𝑘)
⎛
⎝
1
-
𝑥²
𝑐²
-
𝑦²
𝑐²-𝑏²
⎞
⎠
½
(30)
а заряд её равен
𝑄
=
𝑐
𝑉
𝐹(𝑘)
.
(31)
Частные случаи
151. Если 𝑐 остаётся конечным, в то время как 𝑏 а следовательно, и 𝑘 неограниченно уменьшаются, принимая в конце концов нулевое значение, система поверхностей преобразуется следующим образом:
Действительная ось и одна из мнимых осей каждого двухполостного гиперболоида неограниченно уменьшаются, а сама поверхность в конце концов переходит в две плоскости, пересекающиеся по оси 𝑧.
Величина а совпадает с θ, и уравнение системы меридиональных плоскостей, к которым свелись гиперболоиды, имеет вид
𝑥²
(sin α)²
-
𝑦²
(cos α)²
=
0.
(32)
Что касается величины β, то определение (7) в п. 147 привело бы нас к бесконечному значению интеграла на нижнем пределе. Чтобы избежать этого, определим β в этом частном случае интегралом
𝑐
∫
λ2
𝑐𝑑λ2
λ2 √𝑐²-λ2²
.
Положив теперь λ2=𝑐 sin φ, получим для β
π/2
∫
φ
𝑑φ
sin φ
, т.е. ln ctg
φ
2
,
откуда
cos φ
=
𝑒β-𝑒-β
𝑒β+𝑒-β
,
(33)
и, следовательно,
sin φ
=
2
𝑒β+𝑒-β
.
(34)
Если мы назовём экспоненциальную функцию (𝑒β+𝑒-β)/2 гиперболическим косинусом или, короче, гипокосинусом β и обозначим через ch β, а функцию (𝑒β-𝑒-β)/2 назовём гипосинусом β и обозначим sh β и введём таким же образом функции, аналогичные другим простым тригонометрическим функциям, то получим, что λ2=𝑐 sch β, а уравнение для системы однополостных гиперболоидов имеет вид
𝑥²+𝑦²
(sch β)²
-
𝑧²
(th β)²
=
𝑐².
(35)
Величина γ сводится к ψ, так что λ3=𝑐 sec γ и уравнение для системы эллипсоидов имеет вид
𝑥²+𝑦²
(sec γ)²
-
𝑧²
(tg γ)²
=
𝑐².
(36)
Такого рода эллипсоиды представляют собою тела вращения относительно своих сопряжённых осей и называются планетарными эллипсоидами.
Количество электричества на планетарном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно
𝑄
=
𝑐
𝑉
½π-γ
,
(37)
где 𝑐 sec γ - экваториальный радиус, а 𝑐 tg γ - полярный радиус.
При γ=0 фигура становится круговым диском радиуса 𝑐 и
σ
=
𝑉
2π² √𝑐²-𝑟²
,
(38)
𝑄
=
𝑐
𝑉
½π
,
(39)
152.Второй случай. Пусть 𝑏=𝑐, тогда 𝑘=1, 𝑘'=0,
α
=
ln tg
π+2θ
4
, откуда
λ
1
=
𝑐 th α
,
(40)
и уравнение двухполостных гиперболоидов вращения принимает вид
𝑥²
(th α)²
-
𝑦²+𝑧²
(sch α)²
=
𝑐²
.
(41)
Величина β переходит в φ, а каждый однополостный гиперболоид сводится к паре плоскостей, пересекающихся по оси 𝑥, уравнение которых
𝑦²
(sin β)²
-
𝑧²
(cos β)²
=
0.
(42)
Это система меридиональных плоскостей, для которых β служит координатой долготы.
Величина γ, определяемая формулой (7) (п. 147), становится в этом случае бесконечной на нижнем пределе. Чтоб избежать этого, определим γ интегралом
∞
∫
λ3
