Таким образом, внутри поверхности нет токов и поэтому не может быть разности потенциалов, потому что такая разность вызвала бы ток, и, следовательно, потенциал внутри замкнутой поверхности всюду такой же, как на поверхности.
(5) Если через любую часть замкнутой поверхности не проходит электрического тока и если внутри поверхности нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри поверхности не будет токов и потенциал будет однороден.
Мы убедились в том, что токи не могут образовывать замкнутых кривых, а также начинаться или заканчиваться внутри поверхности, и поскольку, по предположению, токи не проходят через поверхность, они не могут существовать и потенциал есть постоянная величина.
(6) Если потенциал не меняется на некоторой части замкнутой поверхности, а через остальную часть этой поверхности не текут токи, то потенциал внутри поверхности будет постоянным по тем же причинам.
(7) Если на одной части поверхности тела известен потенциал в каждой точке, а на остальной части поверхности известен ток, протекающий через поверхность в каждой точке, то для точек внутри тела может существовать только одно распределение потенциала.
Действительно, если бы в каждой точке внутри тела существовали два различных значения потенциала, пускай они равнялись бы 𝑉1 в первом случае и 𝑉2 во втором случае, и представим себе третий случай, в котором потенциал каждой точки тела равен превышению потенциала в первом случае над потенциалом во втором случае.
Тогда на той части поверхности, для которой потенциал известен, в третьем случае он будет равен нулю, и для той части поверхности, где известны токи, в третьем случае они также будут равны нулю, так что, по (6), потенциал всюду внутри поверхности будет равен нулю, т. е. нет превышения ни 𝑉1 над 𝑉2, ни наоборот. Таким образом, имеется только одно возможное распределение потенциалов. Это предложение верно в случаях, когда тело ограничено как одной, так и несколькими замкнутыми поверхностями.
О приближённом вычислении сопротивления проводника заданной формы
306. У рассматриваемого здесь проводника поверхность разделена на три части. На одной из этих частей потенциал имеет некоторое постоянное значение. На второй части потенциал имеет постоянное значение, отличное от первого. Вся остальная поверхность непроницаема для электричества. Мы можем предположить, что условия, налагаемые на первую и вторую части поверхности, будут выполнены, если приложить к проводнику два электрода из совершенно проводящего материала, а условие, налагаемое на остальную часть поверхности, можно выполнить, покрыв её совершенно непроводящим материалом.
При этих условиях ток в каждой части проводника просто пропорционален разности между потенциалами электродов. Если назвать эту разность электродвижущей силой, то полный ток от одного электрода к другому равен произведению электродвижущей силы на проводимость проводника как целого, а сопротивление проводника есть величина, обратная проводимости.
Только когда проводник находится примерно в таких условиях, которые определены выше, можно говорить, что он, как целое, обладает сопротивлением или проводимостью. Катушка сопротивления, состоящая из тонкой проволоки, концы которой выведены на большие медные массы, приблизительно удовлетворяет этим условиям, потому что потенциал внутри массивного электрода является почти постоянным, и любые разности потенциалов в разных точках одного и того же электрода могут считаться пренебрежимо малыми в сравнении с разностью потенциалов двух электродов.
Очень полезный метод для вычисления сопротивления таких проводников был предложен, насколько я знаю, впервые лордом Рэлеем в работе «О теории резонанса» 3.
3Phil. Trans., 1871, p. 77. См. п. 102a.
Он основан на следующих соображениях.
Если изменить удельное сопротивление любой части проводника, не меняя удельное сопротивление остальных частей, то сопротивление всего проводника увеличится, если сопротивление этой части возросло, и уменьшится, если сопротивление этой части уменьшилось.
Этот принцип может рассматриваться как само собой разумеющийся, но легко можно показать, что величина выражения для сопротивления системы проводников между двумя точками, выбранными за электроды, возрастает, по мере того как возрастает сопротивление каждого члена системы.
Отсюда следует, что если в веществе проводника проведена поверхность любой формы и если мы затем предположим, что эта поверхность представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, то сопротивление проводника как целого уменьшится, если только эта поверхность не является одной из эквипотенциальных поверхностей в естественном состоянии проводника, а в этом случае ничего не изменится от превращения этой поверхности в идеальный проводник, потому что эта поверхность и так уже находится в электрическом равновесии.
Следовательно, если мы проведём внутри проводника ряд поверхностей, из которых первая совпадает с первым электродом, а последняя - со вторым, а промежуточные поверхности ограничены непроводящей поверхностью и не пересекают одна другую, и если мы предположим, что каждая из этих поверхностей представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, мы получим систему, сопротивление которой во всяком случае не превышает сопротивление первоначального проводника, причём равенство имеет место только тогда, когда выбранные нами поверхности являются естественными эквипотенциальными поверхностями.
Вычисление сопротивления такой искусственной системы представляет собой дело гораздо менее сложное, чем первоначальная задача. Действительно, сопротивление целого есть сумма сопротивлений всех слоёв, заключённых между последовательными поверхностями, и сопротивление каждого слоя может быть найдено так:
Пусть 𝑑𝑆 - элемент поверхности слоя, ν - толщина слоя в направлении, перпендикулярном к этому элементу, ρ - удельное сопротивление, 𝐸 - разность потенциалов между двумя идеально проводящими поверхностями, 𝑑𝐶 - ток через 𝑑𝑆, тогда
𝑑𝐶
=
𝐸
1
ρν
𝑑𝑆
,
(1)
а полный ток через слой равен
𝐶
=
𝐷
∭
1
ρν
𝑑𝑆
;
(2)
интегрирование распространяется на весь слой, ограниченный непроводящей поверхностью проводника.
Отсюда проводимость слоя равна
𝐶
𝐸
=
∭
1
ρν
𝑑𝑆
,
(3)
а сопротивление слоя есть величина, обратная этой.
Если слой ограничен двумя поверхностями, на которых значения функции 𝐹 равны соответственно 𝐹 и 𝐹+𝑑𝐹, то
𝑑𝐹
ν
=
∇𝐹
=
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
(4)
и сопротивление слоя равно
𝑑𝐹
.
∭
1
∇𝐹𝑑𝑆
ρ
(5)
Для того чтобы найти сопротивление всего искусственного проводника, нам нужно только проинтегрировать по 𝐹, и мы найдём
