Но так как значение в точке 𝑃 зональной гармоники с полюсом 𝑄 равно значению в 𝑄 зональной гармоники того же порядка с полюсом в 𝑃, то можно считать, что для каждого элемента 𝑑𝑠 поверхности построена зональная гармоника с полюсом в 𝑄 и с коэффициентом 𝐹𝑑𝑠.
Таким образом, мы получим систему налагающихся друг на друга зональных гармоник с полюсами в каждой точке сферы, в которой 𝐹 имеет ненулевое значение. Поскольку все они отличаются лишь множителем от поверхностной гармоники порядка 𝑛, их сумма также отличается лишь множителем от поверхностной гармоники (не обязательно зональной) порядка 𝑛.
Таким образом, поверхностный интеграл ∬𝐹𝑃𝑛𝑑𝑠 рассматриваемый как функция точки 𝑃 отличается лишь множителем от поверхностной гармоники 𝑌𝑛, а значит, и
2𝑛+1
4π𝑎²
∬
𝐹𝑃
𝑛
𝑑𝑠
является именно той поверхностной гармоникой 𝑛-го порядка, которая входит в представление 𝐹 рядом по гармоникам, если только 𝐹 может быть так представлено.
Действительно, если 𝐹 может быть представлено в виде
𝐹
=
𝐴
0
𝑌
0
+
𝐴
1
𝑌
1
+…+
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
+…
,
то, умножая на 𝑃𝑛𝑑𝑠 и беря поверхностный интеграл по всей сфере, мы получим
∬
𝐹𝑃
𝑛
𝑑𝑠
4π𝑎²
2𝑛+1
𝐴
𝑛
𝑌
𝑛
,
поскольку все члены, содержащие произведение гармоник различного порядка, обратятся в нуль.
Таким образом, единственное возможное разложение по сферическим гармоникам имеет вид
𝐹
=
1
4π𝑎²
⎡
⎢
⎣
∬
𝐹𝑃
𝑛
𝑑𝑠
+…+
(2𝑛+1)
∬
𝐹𝑃
𝑛
𝑑𝑠
+…
⎤
⎥
⎦
.
(51)
Сопряжённые гармоники
136. Мы видели, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различного порядка всегда равен нулю. Но даже и для двух гармоник одного и того же порядка поверхностный интеграл от их произведения может равняться нулю. В этом случае говорят, что гармоники сопряжены друг другу. Условие взаимной сопряжённости двух гармоник выражается в приравнивании нулю правой части уравнения (46).
Если одна из гармоник зональная, то условие сопряжённости сводится к тому, что другая гармоника обращается в нуль в полюсе зональной гармоники.
Если начать с определённой гармоники 𝑛-го порядка, то условие сопряжённости ей другой гармоники накладывает на 2𝑛 её переменных одно условие.
Чтобы третья гармоника была сопряжена обеим предыдущим, нужно на её 2𝑛 переменных наложить два условия. Продолжая таким образом построение гармоник, сопряжённых всем предыдущим, мы будем иметь число условий, равное числу ранее имевшихся гармоник, так что на (2𝑛+1)-ю гармонику будет налагаться 2𝑛 условий для 2𝑛 её переменных, т.е. эта гармоника будет полностью определена.
Любая функция 𝐴𝑌𝑛 кратная поверхностной гармонике 𝑛-го порядка, может быть выражеиа суммой кратных любой совокупности 2𝑛+1 сопряжённых гармоник того же порядка, так как коэффициенты 2𝑛+1 сопряжённых гармоник дают в наше распоряжение как раз столько свободных величин, сколько содержится параметров в 𝐴𝑌𝑛 (2𝑛 переменных в 𝑌𝑛 и коэффициент 𝐴).
Чтобы найти коэффициент перед какой-либо сопряжённой гармоникой, скажем перед
𝑌
σ
𝑛
,
предположим, что
𝐴𝑌
𝑛
=
𝐴
0
𝑌
0
𝑛
+…+
𝐴
σ
𝑌
σ
𝑛
+…
.
Умножим это равенство на
𝑌
σ
𝑛
𝑑𝑠
и найдём поверхностный интеграл по сфере. Все слагаемые, содержащие произведение сопряжённых друг другу гармоник, обратятся в нуль и останется уравнение
𝐴
∬
𝑌
𝑛
𝑌
σ
𝑛
𝑑𝑠
=
𝐴
σ
∬
(
𝑌
σ
𝑛
)²
𝑑𝑠
,
(52)
из которого и определяется 𝐴σ.
Следовательно, при заданной системе 2𝑛+1 сопряжённых гармоник всякая другая гармоника 𝑛-го порядка может быть выражена через эти гармоники, причём - единственным образом. Отсюда следует, что никакая другая гармоника не может быть сопряжена всем им.
137. Мы видели, что если полная система взаимно сопряжённых гармоник 𝑛-го порядка задана, то любая другая гармоника того же порядка выражается через них. В такой системе из 2𝑛+1 гармоник имеется 2𝑛(2𝑛+1) переменных, связанных 𝑛(2𝑛+1) уравнениями, так что 𝑛(2𝑛+1) переменных можно считать произвольными.
Мы могли бы, следуя Томсону и Тэту, выбрать в качестве системы сопряжённых гармоник такую, в которой 𝑛 полюсов каждой гармоники распределены так, что 𝑗 полюсов совпадают с полюсом оси 𝑥, 𝑘 - с полюсом оси 𝑦 и 𝑙 (𝑛-𝑖-𝑘) - с полюсом оси 𝑧. Если задать 𝑛+1 распределений, для которых 𝑙=0 и 𝑛 распределений, для которых 𝑙=1, то все остальные можно через них выразить.
Фактически всеми математиками (включая Томсона и Тэта) принята система, в которой 𝑛-σ полюсов совпадают с точкой, которую мы можем назвать Положительным Полюсом сферы, а остальные σ полюсов помещены через равные расстояния по экватору при нечётном их числе или через равные расстояния по половине экватора при чётном числе.
В этом случае все μ1, μ2, …, μ𝑛-σ, равны cos θ; мы обозначим cos θ через μ. Если вместо sin θ ввести ν, то μ𝑛-σ+1, …, μ𝑛 примут вид νcos(φ-β), где β - азимут одного из полюсов на экваторе.
Величины λ𝑝𝑞 равны единице, если и 𝑝 и 𝑞 меньше 𝑛-σ равны нулю, если один из индексов больше 𝑛-σ, а другой меньше, и равны cos 𝑠π/σ, если оба индекса больше 𝑛-σ. Здесь 𝑠 - целое число, меньшее σ.
138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. σ=0, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение 𝑃𝑛.
Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием:
𝑃
𝑛
=
(-1)
𝑛
𝑟𝑛+1
𝑛!
𝑑𝑛
𝑑𝑧𝑑
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
⎞
⎟
⎠
,
(53)
𝑃
𝑛
=
1⋅3⋅5…(2𝑛-1)
1⋅2⋅3…𝑛
⎡
⎢
⎣
μ
𝑛
-
𝑛(𝑛-1)
2(2𝑛-1)
μ
𝑛-2
+
+
𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)
2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)
μ
𝑛-4
-…
⎤
⎥
⎦
=
=
∑
⎡
⎢
⎣
(-1)
𝑝
(2𝑛-2𝑝)!
2𝑛𝑝!(𝑛-𝑝)!(𝑛-2𝑝)!
