𝑙
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑥
,
𝑚
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑦
,
𝑛
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑧
.
(6)
Следовательно, если γ есть компонента тока, нормальная к поверхности, то
γ
=
𝑁
⎧
⎨
⎩
𝑢
𝑑λ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ
𝑑𝑧
⎫
⎬
⎭
.
(7)
При γ=0 ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности.
288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид
𝑢
𝑑λ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ
𝑑𝑧
=
0.
(8)
Если это уравнение соблюдается для всех значений λ, то все поверхности семейства являются поверхностями потока.
289. Предположим, что имеется другое семейство поверхностей с параметром λ'. Тогда, если поверхности этого семейства также являются поверхностями потока, мы получим
𝑢
𝑑λ'
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ'
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ'
𝑑𝑧
=
0.
(9)
Если имеется ещё и третье семейство поверхностей потока, отвечающее параметру λ'', то
𝑢
𝑑λ''
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ''
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ''
𝑑𝑧
=
0.
(10)
Исключая из этих трёх уравнений 𝑢, 𝑣 и 𝑢, мы получим
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑑λ
𝑑𝑥
,
𝑑λ
𝑑𝑦
,
𝑑λ
𝑑𝑧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑑λ'
𝑑𝑥
,
𝑑λ'
𝑑𝑦
,
𝑑λ'
𝑑𝑧
=
0,
𝑑λ''
𝑑𝑥
,
𝑑λ''
𝑑𝑦
,
𝑑λ''
𝑑𝑧
(11)
λ''
=
φ(λ,λ')
,
(12)
т.е. λ'' есть некоторая функция от λ и λ'.
290. Рассмотрим теперь четыре поверхности, параметры которых равны λ, λ+δλ и λ' λ'+δλ'. Эти четыре поверхности ограничивают некоторую четырехстороннюю трубку, которую мы можем назвать трубкой δλ⋅δλ' Поскольку эта трубка ограничена поверхностями, через которые нет потока, мы можем назвать её Трубкой Тока. Если мы возьмём любые два поперечных сечения этой трубки, то количество потока, входящее в трубку через одно сечение, должно равняться количеству потока, которое выходит из трубки через другое сечение, и, поскольку это количество будет, таким образом, одно и то же для любого сечения трубки, обозначим его через 𝐿δλ⋅δλ', где 𝐿 является функцией параметров λ и λ', определяющих рассматриваемую трубку.
291. Если δ𝑆 обозначает площадь сечения трубки потока плоскостью, нормальной к оси 𝑥, то теория замены независимых переменных даёт
δλ⋅δλ'
=
δ𝑆
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧
-
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
,
(13)
и, по определению составляющих тока, имеем
𝑢𝑑𝑆
=
𝐿δλδλ'
.
(14)
Отсюда
𝑢
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧
-
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
.
Аналогично
𝑣
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑥
-
𝑑λ
𝑑𝑥
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
,
𝑤
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑥
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
-
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(15)
292. Если известна одна из функций λ или λ', то всегда возможно определить другую таким образом, чтобы величина 𝐿 равнялась единице. Например, возьмём плоскость 𝑦𝑧 и проведём на ней ряд равноотстоящих линий, параллельных оси 𝑦 Пусть эти линии представляют собой линии пересечения плоскости 𝑦𝑧 с семейством поверхностей λ'. Другими словами, пусть функция λ' определяется условием, что λ'=𝑧 при 𝑦=0. Если положить теперь 𝐿=1 и, следовательно (при 𝑥=0), λ=∫𝑢𝑑𝑦, то количество электричества, проходящее через любую часть плоскости 𝑥=0, будет равно
∬
𝑢𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
∬
𝑑λ
𝑑λ'
.
(16)
Коль скоро задан характер пересечения поверхностей тока с плоскостью 𝑦𝑧, форма этих поверхностей в пространстве всюду определяется условиями (8) и (9). Определённые так две функции λ и λ' достаточны для определения тока в любой точке с помощью соотношений (15), где величину 𝐿 следует положить равной единице.
О линиях потока
293. Выберем последовательности значений λ и λ' так, что в обеих этих последовательностях соседние значения отстоят друг от друга на единицу. Две системы поверхностей, отвечающие этим наборам значений λ и λ', разделят пространство на систему трубок с четырехсторонним сечением, по каждой из которых будет протекать единичный ток. Считая эту единицу достаточно малой, можно определить все детали распределения тока с любой желаемой степенью точности. Тогда, если провести любую поверхность, пересекающую систему трубок, величина тока, проходящего через эту поверхность, будет выражаться числом трубок, пересекающих поверхность, поскольку по каждой трубке идёт единичный ток.
Пересечения поверхностей тока могут быть названы линиями потока. Если единица выбрана достаточно малой, число линий потока, пересекающих некоторую поверхность, примерно равно числу пересекающих её потоковых трубок, и мы, таким образом, можем рассматривать линии потока как определяющие не только направление тока, но также и его силу, поскольку каждая линия потока, пересекающая данную поверхность, соответствует единичному току.
О токовых листах и токовых функциях
294. Слой проводника, заключённого между двумя соседними поверхностями тока некоторой системы, скажем системы λ', называется токовым листом. Трубки тока внутри этого слоя определяются функцией λ. Если значения λ в точках 𝐴 и 𝑃 обозначить соответственно через λ𝐴 и λ𝑃, тогда ток, текущий справа налево через любую линию, проведённую на листе от 𝐴 к 𝑃, равен λ𝑃-λ𝐴. Если 𝐴𝑃 есть некоторый элемент 𝑑𝑠 кривой, проведённой на листе, ток, пересекающий этот элемент справа налево, равен (𝑑λ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 Эта функция λ, которая позволяет полностью определить распределение тока в слое, называется Токовой функцией.
