Мы уже показали в п. 86, что 𝑝𝑟𝑠=𝑝𝑠𝑟. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств
𝑝
𝑟𝑠
=
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑒𝑟
=
𝑑
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑠
=
𝑑
𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
=
𝑝
𝑠𝑟
.
(17)
Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, 𝑛(𝑛-1)/2, по одному для каждой пары проводников.
Решая уравнения (16) относительно 𝑒1, 𝑒2 и т. д., мы получим 𝑛 уравнений, выражающих заряды через потенциалы
𝑒₁
=
𝑞₁₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
₁𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
₁𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑠
=
𝑞
𝑠
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑠
𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑠
𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑛
=
𝑞
𝑛
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑛
𝑉
𝑛
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑛
𝑉
𝑛
,
(18)
В этом случае также 𝑞𝑟𝑠=𝑞𝑠𝑟, так как
𝑞
𝑟𝑠
=
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑉𝑠
=
𝑑
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑟
=
𝑑
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
=
𝑞
𝑠𝑟
.
(19)
Подставляя значения зарядов в выражение для электрической энергии
𝑊
=
[
𝑒
1
𝑉
1
+…+
𝑒
𝑟
𝑉
𝑟
+…+
𝑒
𝑛
𝑉
𝑛
]/2
,
(20)
мы получим выражение для энергии через потенциалы
𝑊
𝑉
=
1
2
𝑞₁₁
𝑉₁²
+
𝑞₁₂
𝑉₁
𝑉₂
+
1
2
𝑞₂₂
𝑉₂²
+
𝑞₁₃
𝑉₁
𝑉₃
+
+
𝑞₂₃
𝑉₂
𝑉₃
+
1
2
𝑞₃₃
𝑉₃²
+
… .
(21)
Коэффициент с одинаковыми индексами называется Электрической Ёмкостью того проводника, к которому он относится.
Определение. Ёмкость проводника - это его заряд при единичном потенциале этого проводника и при нулевом потенциале остальных проводников.
Это подходящее определение для ёмкости проводника, если не делается никаких дополнительных уточнений. Но иногда оказывается удобным задавать другие условия на некоторых или на всех прочих проводниках, например, считать часть из них незаряженными. Мы можем тогда определить ёмкость проводника при этих условиях как его заряд при единичном потенциале.
Прочие коэффициенты называются коэффициентами индукции. Каждый из этих коэффициентов 𝑞𝑟𝑠 показывает величину заряда, появляющегося на 𝐴𝑟 при единичном потенциале проводника 𝐴𝑠 и нулевых потенциалах всех остальных проводников, кроме 𝐴𝑠.
Математический расчёт коэффициентов потенциала и коэффициентов ёмкости в общем случае весьма труден. Ниже мы покажем, что эти коэффициенты имеют всегда вполне определённое значение, а в некоторых частных случаях рассчитаем их. Мы покажем также, как их можно определить на опыте.
Если идёт речь о ёмкости проводника без указания формы и положения остальных проводников системы, то подразумевается его ёмкость при условии, что никаких других проводников или заряженных тел нет на конечном расстоянии от рассматриваемого проводника.
Если иметь дело только с ёмкостями и коэффициентами индукции, то иногда оказывается удобным записывать их в виде [𝐴.𝑃]. Этот символ означает заряд на проводнике 𝐴 при единичном потенциале проводника 𝑃 (и при нулевом потенциале остальных проводников).
Аналогично [(𝐴+𝐵).(𝑃+𝑄)] будет означать заряд на 𝐴+𝐵 при единичных потенциалах на 𝑃 и 𝑄. Легко видеть, что, поскольку
[(𝐴+𝐵).(𝑃+𝑄)]
=
[𝐴.𝑃]
+
[𝐴.𝑄]
+
[𝐵.𝑃]
+
[𝐵.𝑄]
=
=
[(𝑃+𝑄).(𝐴+𝐵)]
,
эти составные символы ведут себя по отношению к сложению и умножению как обычные числа.
Символ [𝐴.𝐴] означает заряд на проводнике 𝐴 при единичном потенциале 𝐴 т.е. ёмкость проводника 𝐴.
Аналогично [(𝐴+𝐵).(𝐴+𝑄)] означает сумму зарядов на проводниках 𝐴 и 𝐵 при единичном потенциале на 𝐴 и на 𝑄 и при нулевом потенциале остальных проводников, кроме 𝐴 и 𝑄. Эту величину можно разложить на сумму [𝐴.𝐴] + [𝐴.𝐵] + [𝐴.𝑄] + [𝐵.𝑄].
Коэффициенты потенциала не могут быть рассмотрены таким же способом. Коэффициенты индукции представляют собой заряды, и эти заряды можно складывать, а коэффициенты потенциала представляют собой потенциалы. Если потенциал проводника 𝐴 равен 𝑉1 а потенциал проводника 𝐵 равен 𝑉2, то сумма 𝑉1+𝑉2 не описывает какое-либо физическое явление, хотя разность 𝑉1-𝑉2 является электродвижущей силой от 𝐴 к 𝐵.
Коэффициенты индукции между двумя проводниками можно выразить через ёмкости этих проводников и через совместную ёмкость обоих проводников: [𝐴.𝐵] = [(𝐴+𝐵).(𝐴+𝐵)]/2 - [𝐴.𝐴]/2 - [𝐵.𝐵]/2.
Размерность коэффициентов
88. Поскольку потенциал заряда 𝑒 на расстоянии 𝑟 равен 𝑒/𝑟, то размерность электрического заряда равна произведению размерностей потенциала и длины.
Поэтому коэффициенты ёмкости и индукции имеют ту же размерность, что и длина, так что каждый из них может быть представлен отрезком прямой, длина которого не зависит от принятой системы единиц.
По тем же соображениям коэффициенты потенциала имеют размерность, обратную размерности длины.
О некоторых условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты
89 а. Прежде всего, поскольку электрическая энергия системы является существенно положительной величиной, то выражающая её квадратичная форма от зарядов или от потенциалов должна быть положительной при любых положительных или отрицательных значениях зарядов или потенциалов.
Существует 𝑛 условий того, что однородная квадратичная функция 𝑛 переменных всегда положительна; их можно записать в виде
𝑝
11
>0,
⎪
⎪
⎪
𝑝
11
,
𝑝
12
⎪
⎪
⎪
𝑝
21
,
𝑝
12
>0, …
