Но мы показали, что для некоторых направлений 𝑑𝑀/𝑑𝑟 отрицательно, следовательно, при нефиксированном электричестве неустойчивость этих направлениях возрастает.

ГЛАВА VII

ФОРМЫ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ ИНДУКЦИИ В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ

117. Мы видели, что нахождение распределения электричества на поверхности проводников можно связать с решением уравнения Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑧²

=

0,

где 𝑉 - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, всюду конечная и непрерывная, обращающаяся в нуль на бесконечности и имеющая заданное постоянное значение на поверхности каждого проводника.

В общем случае не представляется возможным решить существующими математическими методами это уравнение, удовлетворив произвольно заданным условиям, но можно легко привести сколько угодно выражений для функции 𝑉, удовлетворяющей этому уравнению, и найти для каждого выражения форму поверхностей проводников, для которой эта функция является истинным решением.

Таким образом, задача определения формы проводников, соответствующей заданному потенциалу, которую естественно назвать обратной задачей, оказывается более легко решаемой, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников.

Фактически все известные нам решения задач электричества получены именно таким обратным процессом. Поэтому специалисту в области электричества чрезвычайно важно знать, какие задачи были решены таким способом, так как единственный метод, которым можно надеяться решить новую задачу, это сведение её к какому-либо случаю, когда подобная задача была решена обратным методом.

Знание результатов обратных задач можно использовать двумя способами. Если требуется построить инструмент для производства электрических измерений с максимальной точностью, то мы можем выбирать такие формы поверхностей заряженных тел, которые соответствуют случаям, для которых мы знаем точное решение. Если же, наоборот, требуется определить электризацию тел заданной формы, то следует начать с какого-нибудь случая, когда одна из эквипотенциальных поверхностей имеет форму, более или менее близкую к заданной, а затем методом проб изменять решение, пока оно не приблизится к искомому.

Конечно, этот метод с математической точки зрения весьма несовершенен, но это единственный метод, имеющийся в нашем распоряжении, и если у нас нет возможности выбирать наши условия, то мы можем произвести лишь приближённый расчёт электризации. Таким образом, нам нужно знать форму эквипотенциальных поверхностей и линий индукции для возможно большего числа различных случаев, какие только удастся собрать и запомнить. Для некоторых случаев, как, например для сферических проводников, известны математические методы, которыми можно воспользоваться. В других случаях не следует гнушаться и более скромным методом прямого построения пробных графиков полей и потенциалов на бумаге и выбора наименее отклоняющегося от требуемого.

Мне представляется, что этот последний метод может быть полезен даже в случае, когда имеется точное решение. Как я убедился, наглядное представление форм эквипотенциальных поверхностей часто приводит к правильному выбору математического метода решения.

Поэтому я построил несколько графиков систем эквипотенциальных поверхностей и линий индукции, чтобы читатель мог привыкнуть к форме этих поверхностей и линий. Способы построения таких графиков будут пояснены в п. 123.

118. На первом графике, приведённом в конце этого тома, дано сечение эквипотенциальных поверхностей, окружающих два точечных одноимённых заряда, количества электричества в которых относятся как 20 к 5.

Обе точки окружены здесь системой эквипотенциальных поверхностей, которые по мере уменьшения всё более приближаются к сферам, хотя строго сферической ни одна из поверхностей не является. Если две такие поверхности, окружающие соответственно первую и вторую точку, принять за поверхности двух проводящих тел, почти, но не совсем точно сферических, и если эти тела зарядить соответственно одноимёнными зарядами в отношении 4 к 1, то этот график будет представлять их эквипотенциальные поверхности, если только убрать все поверхности, проходящие внутри обоих тел. Из графика видно, что взаимодействие между этими телами такое же, что и между двумя точками с теми же зарядами, находящимися не точно на середине оси каждого тела, а несколько более удалённых от другого тела, чем середина оси.

Из того же графика можно увидеть, каково будет распределение электричества на любой из окружающих оба центра овалообразных фигур, один конец которых толще другого. Такое тело, будучи заряжено 25 единицами электричества и свободное от внешнего влияния, будет иметь наибольшую плотность электричества на тонком конце, меньшую - на толстом и самую малую плотность - на окружности, которая несколько ближе к тонкому концу, чем к толстому.

Существует одна эквипотенциальная поверхность, показанная на чертеже пунктиром, состоящая из двух лепестков, встречающихся в конической точке 𝑃. Эта точка является точкой равновесия, а поверхностная плотность на теле, ограниченном этой поверхностью, была бы равна нулю в этой точке.

Силовые линии образуют в этом случае две раздельные системы, отделяемые друг от друга поверхностью шестого порядка, показанной пунктирной линией, проходящей через точку равновесия и несколько напоминающей лист двухполостного гиперболоида.

Этот график можно считать также представляющим силовые линии и эквипотенциальные поверхности для двух сфер гравитирующей материи с отношением масс 4 к 1.

119. На втором графике мы вновь имеем два точечных заряда, относящихся как 20 к 5, но один из них положительный, а другой отрицательный. В этом случае одна из эквипотенциальных поверхностей, а именно та, что соответствует нулевому потенциалу, является сферой. На графике она изображена пунктирной окружностью 𝑄. Важная роль этой сферической поверхности станет ясна далее, когда мы дойдём до теории электрических изображений.

Из этого графика можно видеть, что если два округлых тела заряжены электричеством противоположного рода, то они притягиваются друг к другу как два точечных заряда с теми же зарядами, но расположенные несколько ближе друг к другу, чем срединные точки этих округлых тел.

И здесь одна из эквипотенциальных поверхностей, показанная пунктиром, состоит из двух лепестков, причём внутренний лепесток охватывает точку с зарядом 5, а внешний охватывает оба тела. Оба лепестка смыкаются в конической точке 𝑃, являющейся точкой равновесия.

Если поверхность проводника имеет форму внешнего лепестка, т. е. округлую форму с конической впадиной на одном конце оси, как у яблока, то можно определить значение поверхностной плотности в любой точке при электризации этого проводника. В частности, на дне впадины она равна нулю.

Эта поверхность охватывается другими, у которых впадина уже закруглена, и постепенно уплощается и, наконец, исчезает для эквипотенциальной поверхности, проходящей через точку 𝑀.

Силовые линии на этом графике образуют две системы, разделённые поверхностью, проходящей через точку равновесия.

Если рассматривать точки на оси за точкой 𝐵 то видно, что результирующая сила уменьшается до кратной точки 𝑃 где она обращается в нуль. Затем она меняет знак и достигает максимума в точке 𝑀, после чего монотонно убывает.

Однако этот максимум является максимумом лишь по отношению к другим точкам на этой оси: ибо если рассмотреть поверхность, проходящую через 𝑀 перпендикулярно этой оси, то в точке 𝑀 сила будет минимальна по сравнению с соседними точками этой поверхности.

120. На графике III представлены эквипотенциальные поверхности и линии индукции, обусловленные точечным зарядом в 10 единиц, помещённым в точке 𝐴 и окружённым силовым полем, которое до введения точечного заряда было однородным по величине и направлению во всем пространстве.